30写出A的幂集2A解显然A13所以2A13A8设A是包含
个元素的有限集求A的幂集2A所包含元素个数解
k对于任意的k01
A的由k个元素组成的子集共有C
个所以A的幂
k2
集2A所包含元素个数为k0C

§12
映
射
1设m是一个正整数
Z作带余除法
mqr0rm
规定
f
r
问f是否为Z到Z的映射单射满射答显然f是Z到Z的映射由于fmf2m0因此f不是单射由于
f
m
Z因此不是满射
21设f是A到的B单射g是B到C的单射证明gf是A到C的单射2设f是A到的B满射g是B到C的满射证明gf是A到C的满射
2
f证明
1假设xyA且xy由于f是A到的B单射因此fxfyB且
fxfy由于g是B到C的单射因此gfxgfyC且gfxgfy即gfxgfy由此可见gf是A到C的单射
2任意给定zC由于g是B到C的满射因此我们可取yB使得gyz由于f是A到B的满射因此我们可取xA使得fxy于是
gfxgfxgyz
由此可见gf是A到C的满射3设A123Babc问1有多少个A到B的映射2有多少个A到B的单射满射双射解1令F表示A到B的所有映射组成的集合P表示abc这三个元素的所有有重复和无重复的排列组成的集合对于任意的fF令φff1f2f3显然φ是F到P的双射并且P3327所以F27也就是说A到B的不同映射共有
27个
2设FPφ如1中所说显然对于任意的fFf是单射满射当且仅当
φff1f2f3是abc这三个元素的一个无重复的排列由于abc这三个元素的
无重复的排列共有6个所以A到B的不同单射满射共有6个4设给出三个Z到Z的映射
fx2xgx2x1x2当x为偶数时hxx1当x为奇数时2
1计算fggfhfhgfhgh2证明fg是单射并分别求出fg的一个左逆映射3证明h是满射并求出h的一个右逆映射解1对于任意的xZ
fgxfgx22x14x2gfxgfx22x14x1hfxhfxxhgxhgxxx当x为偶数时fhxfhxx1当x为奇数时
x1r