第22章x与x
2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
2211★
求
2007211
2

的值．
解析因为
200721122007122006，又
200721122007
200721200712

1
10，
200721200712
所以2006200721122007．
故
2007211
2


2006
．
2212★
若


是正整数，求

3

3

2

1的值．
解析因为
3
3
2
1

33
23
1
13，
所以
3
3
2
13
13
1，
所以
3

3


2



1



．
22113★数A1232008的末尾有多少个连续的零解析A的质因数分解式中，5的最高次方幂为

20085



200852



200853



200854

40080163499，
所以A1232008的末尾有499个零．
评注在
12
中，质数p的最高次幂是
p





p




p2





pm

，
其中pm≤
，且pm1
．
2214★★
设
S
1
122

132


120072
，求
S

．
解析要求S，只需证明S介于两个连续的整数之间．所以需要对S进行适当的变形，通过放大、缩
1
f2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
小
的手段求出S的范围，从而确定S的取值．
由题设知，S1．考虑到
1k2

1
kk1

1k1
1k
，k
2，3，4，…，2007，可以得到
1

S

1


11

12



12

13




12006

12007

212，2007
所以S1．
评注上述解题过程中，首先对S进行了“放缩”，又通过“拆项”的方法使和式中前后两项能够相互抵消一部分，使和式化简，从而得到了S的范围．在对和式取整时，利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要，需要在平时的学习中多积累一
些和式的性质以及变形技巧．
2215★★计算和式

231101


232101


的值．


23100101

解析因为（23，101）1，所以，当
12
因为23
23101

101
101

100
时，
23
101
都不是整数，即

23
101

都不为零．又


23
101



23
101
101




23
101



23101
101



23，
而
0

23
101



23101
101




2
，且

23
101



23101
101



是整数，所以
23
101



23101
101




1
，
则

23
101



23101
101




23

1

22
．
从而，可以把

231101
，

232101

，…，

23100101

首尾配对，共配成
50
对，每一对的和为
22，所以

231101


232101



23100101

2251100．
2216★★
已知0a1，且满足a
130


a
230


a

2930

18
，求
10a
的值．
解析因为0a1a23030

a

2930

2
，所以
a

130

，a

230

，…，a

2930

等于
0
或者
1．由
2
f题设知，其中有18个等于1，所以
a

1r