练习题
71两个点电荷所带电荷之和为Q，它们各带电荷为多少时，相互间的作
用力最大
解这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q，则另一个点电荷带
电Qq，两点电荷之间的库仑力为
F

140
Qqq
r2
由极值条件dFdq0，得
q1Q2
又因为
d2Fdq2
120r2
0
这表明两电荷平分电荷Q时，它们之间的相互作用力最大。
72两个相同的小球，质量都是m，带等值同号的电荷q，各用长为l的细线挂在同一点，如图743所示。设平衡时两线间夹角2很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：
1
x


q2l20mg

3
式中x为两球平衡时的距离。
2如果l120m，m10g，x50cm，则每
个小球上的电荷量q是多少
3如果每个球以10109Cs1的变化率失去电
荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率dxdt是多少
解：1带电小球受力分析如图解所示。小球
平衡时，有
Tsi
F
Tcosmg
由此二式可得
ta
Fmg
图743练习题72图
5111
f因为很小，可有ta
x2l，再考虑到
q2F
40x2
可解得（2）由上式解出
1
x


q2
2l0mg

3
1
q


2
0mgx3l
2
238108C
（3）由于
1


dxdt


l20mg
3
23
1
q3
dqdt

2x3q
dqdt
带入数据解得
140103ms1
合力的大小为
F

Fx

2F1cos

2
140

x2
2e2d
2


2
x
x2


d
2

2
1
32e2x
404x2d232
令dFdx0，即有
8e2
0

4x2
1d2
32
32
8x24x2d2
520

由此解得粒子受力最大的位置为
xd22
5211
f74由相距较近的等量异号电荷组
成的体系称电偶极子，生物细胞膜及q
q
l
土壤颗粒表面的双电层可视为许多电
偶极子的集合。因此，电偶极子是一lOl
x
P
个十分重要的物理模型。图745所示
的电荷体系称电四极子，它由两个电qlq
偶极子组合而成，其中的q和l均为已
图745练习题74用图
知，对图744中的P点OP平行于正
方形的一边，证明当xl时
Ep

3pl40x4
其中，pql称电偶极矩。解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在
P点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题73可知
E左

40
p
x

l2
3
方向向下
p
E右

40

x

l2
3
方向向上
其中，pql。P点处的合场强为
E

E右

E左

40
p
x
l3
2

40
p
x
l3
2

p40
3x2l

2

l2
3


x2

l2
2
3


由于
xl上式可简化为
证毕。
E

3pl40x4
方向向上
75如图746所示，长为l的细直线OA带电线密度为，求下面两种情5311
f况下在线的延长线上距线的端点O点为b的P点的电场强度：1为常量，且0；2kx，k为大于零的常量，0≤x≤1。
P
O
Ar