高二数学学案
姓名
班级
高二数学平面的法向量与平面的向量表示
学习目标：
1、掌握平面的法向量；会求平面法向量
2、利用平面的法向量判定线面、面面的位置关系；
学习重点：法向量的应用
学习过程
（一）、预习检测
1、设平面的法向量为122平面
的法向量为24k若
，则
k
；若
则k
。
2、已知l，且l的方向向量为2m1，平面的法向量为1122则
m

3、若l的方向向量为21m平面的法向量为1122且l
，则
m

4设uv分别是平面αβ的法向量根据下列条件判断αβ的位置关系
1u225v644
2u122v244
3u235v314
二、复习：
1、直线l的向量方程：
2、p与a，b共面（a，b不共线）
（三）、引入新课
1、平面的法向量及求法
如果表示向量
的有向线段所在的直线垂直于平面α称这个向量垂直于平面α记作
⊥α
这时向量
叫做平面α的法向量


在空间直角坐标系中如何求平面法向量的坐标呢
如图设ax1y1z1、bx2y2z2是平面α内的两个不共
线的非零向量由直线与平面垂直的判定定理知若
⊥a
a
且
⊥b则
⊥α换句话说若
a0且
b0则
b

⊥α可按如下步骤求出平面的法向量的坐标
第一步设设出平面法向量的坐标为
xyz
f第二步列根据
a

0且
b

0
可列出方程组

x1xx2x

y1y2
yy

z1zz2z

00
第三步解把z看作常数用z表示x、y第四步取取z为任意一个正数当然取得越特殊越好便得到平面法向量
的坐标
2、平面的向量表示：AM
0
3、设
1、
2分别是平面、的法向量，那么
或与重合
1
2

1
2
1
20
（四）典例分析1、法向量的求解：例1在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中O是面AC的中心求面OA1D1的法向量
z
A1
D1
B1
C1
AA
x
OB
2、法向量的应用1、判断直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a平面α的法向量为
且Lα①若a∥
即aλ
则L⊥α②若a⊥
即a
0则L∥α

a
L

Dy
a
f高二数学学案
姓名
班级
例2棱长都等于2的正三棱柱ABCA1B1C1D、E分别是AC、CC1的中点求证IA1E⊥平面DBC1IIAB1∥平面DBC1
z
A1
C1
B1
E
A
D
C
2、平面与平面的位置关系平面α的法向量为
1平面β的法向量为
2

1α

2
β
α
β
①若
1∥
2即
1λ
2则α∥β
②若
1⊥
2即
1
20则α⊥β

1

2
巩固练习：练习A1、2、3作业：练习B1、2、
fr