二次函数的最值问题
二次函数yax2bxca0是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基
础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况当a0时，
函数在xb处取得最小值4acb2，无最大值；当a0时，函数在xb处取得
2a
4a
2a
最大值4acb2，无最小值．4a
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问
题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例1】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得
到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．
解：作出函数的图象．当x1时，ymi
4，当x2时，ymax5．
【例2】当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当x1时，ymi
1，当x2时，ymax5．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一
段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一
些常见情况：
【例3】当x0时，求函数yx2x的取值范围．解：作出函数yx2xx22x在x0内的图象．可以看出：当x1时，ymi
1，无最大值．
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f所以，当x0时，函数的取值范围是y1．
【例4】当txt1时，求函数y1x2x5的最小值其中t为常数．
2
2
分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位
置．
解：函数y1x2x5的对称轴为x1．画出其草图．
2
2
1当对称轴在所给范围左侧．即t1时：
当xt时，
ymi


1t22
t

5；2
2当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时：
当x1时，
ymi


1122
1
52

3；
3当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：
当xt1时，ymi


1t2
12
t1
52

1t22
3．
综上所述：
y

1

2
t2

3t

0
30t1

1
t2

t

5
t

1
2
2
在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量
m件与每件的销售价x元满足一次函数m1623x30x54．
1写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；
2若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：r