探究函数ya与ylogax图象的交点个数问题
x
函数yax与ylogaxa0且a1互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a的取值．探究由
yaxylogax
，
得
yaxyax
①其中x0y0②
（1）当a1时①②，得yayaxx令fxaxxx0则fyfx即faxfx
xx
∵a1∴fx为增函数∴ax两边取自然对数得l
al
x即xl
al
x0令gxxl
al
xx0求导得gxl
a当x变化时，gxgx的变化情况如下表：
11．令gx0得x．l
ax
x
gx
gx
0
1l
a

1l
a
0极小值

1l
a

由上表可知当x
111l
l
a．时gx极小值1l
l
al
a
∵gx只有一个极值∴gxmi
1l
l
a
x当1l
l
a0，即aee时，方程gx0无解，此时函数ya与ylogax的图
1
象没有交点；当1l
l
a0，即aee时，方程gx0有一解，此时函数ya与ylogax的
x
1
图象有一个交点；当1l
l
a0，即1aee时，由于gx在0内连续，且当x0时，
1
xgx；当x∴方程gx0有两解，此时函数ya与ylogax的时，gx，
图象有两个交点．（2）当0a1时
a由①、②，消去y，得a
x
x
x
③
由于a0，且0a1，故0
aa1即0x1．
x
x
x对③式两边取自然对数，得al
al
x，即a
l
x．l
a
f两边取自然对数，得xl
al
令hxl

l
x．l
a
1l
xl
a．xl
ax01．求导，得hxxl
xl
a11x01．则xl
x1．由hx0，得xl
x．令xxl
xl
al
a111由x0，得x．当x0时，x0；当x1时，x0．eee1111∴当x时，xmi
．eeel
a11110，即ae时，x0恒成立．∴xl
x当，∵0a1，0x1，eel
al
a111l
a0，即hx0，当且仅当ae，且x时取“＝”号．∴hx在01内是∴eexl
x
减函数．又∵当x0时，hx；当x1时，hx，且hx在01内连续，∴方程hx0恰有一解，此时函数yr