同角三角函数的基本关系
在教材P108“做一做”中，需要完成第（3）题，其结果如下：
三角函数
角
si

cos
30°
1
3
2
2
ta
33
45°
2
2
1
2
2
60°
3
1
3
2
2
从表中不难得出：
si
230cos2301，si
30ta
30cos30
si
245cos2451，si
45ta
45cos45
si
260cos2601，si
60ta
60cos60
那么，对于任意锐角A，是否存在si
2Acos2B1，si
Ata
A呢？cosA
事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系：
如图，在RtABCC90，ABC所对的边依次为a，b，c
则①si
2Acos2B1
（平方关系）
②ta
Asi
A，cotAcosA（商的关系）
cosA
si
A
③ta
AcotA1
（倒数关系）
证明：①si
AacosAba2b2c2
c
c
si
2
Acos2
Aa2c
b2c

a2b2c2

c2c2
1
即si
2Acos2A1
②si
AacosAbta
AacotAb
c
c
b
a
fasi
Acacata
A
cosAbcbb
c
bcosAcbcbcotAsi
Aacaa
c
即ta
Asi
A，cotAcosA
cosA
si
A
③ta
AacotAb
b
a
ta
AcotAab1ba
即ta
AcotA1
通过以上证明，可以得出以下结论：
①对于任意锐角A，A的正弦与余弦的平方和等于1，即si
2Acos2A1．
②对于任意锐角A，A的正弦与余弦的商等于A的正切，即ta
Asi
A．cosA
③对于任意锐角A，A的余弦与正弦的商等于A的余切，即cotAcosA．si
A
④对于任意锐角A，A的正切和余切互为倒数，ta
AcotA1．
运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程．
例1已知A为锐角，cosA3求si
A，ta
A．5
解：A为锐角
0si
A1又si
2Acos2A1cosA3
5si
A1cos2A132164
52554ta
Asi
A54cosA335
此题还可以利用定义求解，方法不唯一．
例2计算cos230si
230ta
45
f解：原式si
230cos2301
110本题也可直接把特殊角的三角函数值代入计算，但过程较为复杂，同学们了解了同角三角函数之间的基本关系，不仿试解下面的题目．
1．化简：12si
10cos10
2．A为锐角，化简
1

1
cosAsi
Ata
AcotA
答案：1．si
10cos10（提示：1si
210cos210）
2．1
（提示：ta
Asi
AcotAcosA）
cosA
si
a
fr