导数中的二次求导问题
一考情分析：高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的
应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大二知识要点（为什么二次求导：）
在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题若遇这类问题，“再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径。三、解这类题的步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导函数fx，无法判断导函数正负；③构造求gxfx，求gx；④求gx0和gx0的解，即得函数gx的单调性，得函数gx的最值，；⑤根据列表解答问题。
四、典型例题：
例1求函数fxxcosxaxa，x0π（a1）的单调区间；2
解：依题意fxcosxxsi
xa．
令gxcosxxsi
xa，x0π，2
则gx2si
xxcosx0．
f所以gx在区间0π上单调递减．2
因为g01a0，所以gx0，即fx0，所以fx的单调递减区间是0π，没有单调递增区间．
2
例2求证：函数fxxl
x1ax2（a0）存在极小值；解：因为fxl
x1x2axx1
设gxfxl
x1x2axx1
gx

1
1
x1x12
2a
因为x1且a0，
所以
x
1
1

0
，

x
112
0，2a0
从而得到gx0在1上恒成立
所以fx0在1上单调递增且f00，
所以x，fx，fx在区间1的变化情况如下表
x
10
0
0
fx

0

fx
极小值
所以x0时，fx取得极小值，问题得证
f例3求函数fxsi
xl
x在区间1内的极大值的个数．解：因为fxsi
xl
x，
所以fxcosxl
xsi
x，x
（1）当
x1

时，
f
x

0
，
f
x
单调递增，此时
f
x
无极大值．
2
（2）当x时，设gxfxcosxl
xsi
x，
2
x
则
gx

si

xl

x

2cosx
x

si
xx2

0
，所以
f
x
在2

内单调递减．
又因为f20r