中山2005高代1．由三个函数1，costsi
t构成线性空间V，求线性变换TV→Vftft式，特征多项式。
π
3
的迹行列
10T在1，costsi
t这组基上的矩阵为
0
0
12
32，所以迹为2，行列式为1，
0

32
12
特征多项式为λ1λ2λ1。2．A是秩为
的m×
矩阵，b为m维向量，若ATAxATb证明对一切不等于x的m维向量y，有bAxbAy记δyx则δyx


bAyTbAybAxTbAxAδTAδ2δTATbAxAδTAδ0
3．没打出来（不好意思）A的特征多项式为λ1，所以有εii1
个不同的单位特征根，所以相似于对角阵。

记fx
1i0
∑ax
i0i

1
i

B
∑
aiAi所以detB∏fεi。
i1


4．证明实空间线性变换必有一维或二维不变子空间。当
为奇数时，若特征多项式的有一复根abi，则其共轭也是其根。由于特征多项式一共有
个复根，所以必有实根λ则Vλ就是其一维不变子空间。当
为偶数时，若Aαβiabiαβi，即AαaαbβAβbαaβ则Lαβ就是其二维不变子空间。5．证明正定矩阵的最大元素必定在对角线上。
f反证，若最大元素为ajiaijij取x000…1i…1j000则xAxaiiajj2aij≤0
T
这与正定性矛盾。
第三题题没写出。。有错误请指证谢谢。解答者si
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