向量a2si
xcosx，b3cosx2cosx
定义函数fxab1。（1）求函数fx的最小正周期。（2）xR时求函数fx的最大值及此时的x值。
解：fxab123si
x×cosx2cos2x1
3si
2xcos2x2si
2x6
7分
（1）T2
9分
（2）fx2si
2x6
∴当2x2kkZ62
即xkkZ时，fx取最大值为26
∴当xk6
kZ时fxmax2
12分
19、（本题满分13分）（文）直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形，
BAC900，ABAC2，AA21
2，EF分别是BC、AA1的中点。求（1）异面直
线EF和A1B所成的角。（2）直三棱柱ABCA1B1C1的体积。
解：（1）方法一：（略解）取AB的中点D，连DE、DF，
则DF∥A1B，∴∠DFE即为所求。2分
A1
B1
C1
由题意易知，DF3，DE1，AE2
F
由DE⊥AB、DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A1
A
B
C
E
f∴△DEF为直角三角形，∠EDA900∴ta
∠DFEta
DFEDE139分
DF33
∴DFE300即异面直线EF和A1B所成的角为300。10分
方法二：
z
以A为坐标原点以AB、AC、
A1
AA1所在直线分别x轴、y轴、
B1
C1
Z轴建立如图所示的直角坐标系，
F
则Aoo22B200
o
E、F分别是BC、AA1中点
AB
C
∴E110F0025分
x
E
y
∴BA2，0，22
EF1，1，2
设BA与FG的夹角为∴cosBA1EF3BA1EF2
0∴
6
9分
∴异面直线EF和AB所成的角为6
10分
（2）直三棱柱
ABCA1B1C1的体积V

12
AB
AC
AA1

12
2
2
2
24
2

13分
（理）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADABC90，AB5BC2AD8，异面直线AC1与A1D互相垂直。（1）求直棱柱棱AA1的长；（2）若点M在线段A1D上，AMA1D，求直线AD与平面AMC1所成的角的大小。
解：（1）方法1
A1
D1
M
以A为坐标原点以AB、AD、B1C1
AA1所在直线分别x轴、y轴、
Z轴建立直角坐标系，
DA
设棱AA1的长为aa0
B
C
则A000，B500，
fC520D080A100aB150aC152aD108a
∴AC152aA1D08a，3分
又AC1A1DAC1A1D0，6分
得a4，∴棱AA1的长为4。8分
方法2、设棱AA1的长为aa0在A1D1上取点E1，使A1E12，则点E1即为点C1在平面AA1D1D上的射影，AE1⊥A1D。连C1E、AE1易知A1D⊥平面AC1E1，在平面AA1D1D中，由Rt△AA1D～Rt△AA1E
∴
A1E1AA1

AA1AD
，即2a

a。∴a8

4∴棱AA1r