B正定对称。
二、计算题（共62分）
111111
1．
（15
分）写出方程组的矩阵形式或增广矩阵

30
21
12
12
36
a3
54331b
（3分）
101152
对其作初等行变换




000
100
200
200
600
3
ab2

当a0b2时，方程组有解。
（6分）（3分）
通解
xx12

x3x42x3
5x52x4
26x5

3
2．令
detA
，则有
2
1
2
由1223，得
1
1
21，
1
由A11A，或经初等变换，detA
（3分）
（4分）（2分）（3分）（3分）
求得
A41

1

43
52
364
246
123
1234
（3分）
3．（17分）（1）A保持向量的加法和数乘。
（3分）
2

（2）由基的象得A
的表示矩阵
A


1111


2
（4分）
（3）所有特征值为2、2、2、0
（3分）
所有特征向量分别为“2阶非零对称实方阵”和“2阶非零反对称实方阵”（3分）（没有考虑特征值重数，扣2分；没有考虑特征向量非零，扣2分）
（4）

10
00
，012
12
0
，00
01
，
0
12
1
2
0

（4分）
（基向量没有标准化，扣2分；基向量没有写成2阶方阵形式，扣1分）
4．
（15
分）二次型的表示矩阵
A


21
12
11

112
A的特征值为3、3、0
（3分）（3分）
A的特征向量1
12
101，2

16

112
，
3

13
111
，
令uvwxyzP，P123，得fxyz3u23v2
曲面为圆柱面（回答椭圆柱面，扣1分）三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。
1．
（1）
ra
k
AI
0B


ra
k
0I
ABB

ra
k
0I
A0B
ra
kAB
（2）
ra
k
A

ra
k
B

ra
k
A0
0B


ra
k
AI
B0
ra
kAB
2．对称方阵正交相似于对角形A1


1



1



A的特征值3110
（3分）（3分）（3分）
（4分）（4分）（3分）（3分）
适当排列i，A1
1
IrIs。

0
（2分）
12
fr