A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合
A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA）即若任意xA有xB，则AB或AB。
这时我们也说集合A是集合B的子集（subset）。
如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A就记作AB（或BA），即若存在xA有xB，则AB或
BA
说明：AB与BA是同义的，而AB与BA是互逆的。
规定空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有A。
例1．判断下列集合的关系
1N_____Z
2N_____Q
3R_____Z
4R_____Q
5Axx120，
Byy23y20
6A13，
Bxx23x20
7A11，
Bxx210
（8）Axx是两条边相等的三角形
Bxx是等腰三角形。
问题3：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？
集合A与集合B的元素完全相同，从而有：
2集合相等
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（即AB），
同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即BA），则称集合A等于集合B，记作AB。
如：Axx2m1，mZ，Bxx2
1，
Z，此时有AB。
问题4：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）
（2）除去与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A，但不等于A）
3真子集：
由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：
1AA任何集合都是其自身的子集；
2若AB，而且AB（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集合B的真子集（propersubset），
记作A≠B。（空集是任何非空集合的真子集）
f3对于集合A，B，C，若AB，BC，即可得出AC；对A≠B，B≠C，同样有A≠C关系具有“传递性”。
即：包含
4证明集合相等的方法：
（1）证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）
（2）分别证明AB和BA即可。（抽象情况）
对于集合A，B，若AB而且BA，则AB。
（III）例题分析：
例2．判断下列两组集合是否相等？
（1）Axyx1与Byyx12A自然数与B正整数
例3．教材P8例3写出a，b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集
例4．解不等式x32，并把结果用集合表示。
结论：一般地，一个集合元素若为
个，则其子集数为2
个，其真子集数为2
1个，特
别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
IV课堂练习
1课本P8，练习1、2、32设A0，1，BxxA，问A与B什么关系？
3判断下列说法是否正确？
（1）NZQR；
（2）AA；
（3）圆内接梯形等腰梯形；（4）NZ；
（5）；
（6）
4有三个元素的集合A，B，已r