积分在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值：
34
I
12
6xy
2
y3dx6x2y3xy2dy。
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f二O一三年招收硕士研究生入学考试试题参考答案（A卷）
一、选择题本大题共5小题每小题6分共30分
1D2B3C4A5C
二、填空题本大题共5小题每小题6分共30分
192yx3
113044yz30541010
三计算题本大题共3小题每小题10分共30分
1解：由于
0
1112222

12

5分
而lim

11120根据迫敛性lim22

12
2

0
5分
2解：因lim（5分）设fx
a
1
2lim1，且当x1时，级数发散。所以该级数的收敛区域为（1，1）
a



1x
1



，x11。在收敛区域内逐项积分，得


x
0
x2ftdt
1tdtx
x01x2
1
1
x

x16分
x22xfx321x1x
x1
（5分）
3解区域D为y型区域，Dxy0xy0y1，所以
I
x
D
2
eyddyx2eydx
2
1
y
2
0
0
（5分）

113y211yedy3063e
（5分）
四、证明题本大题共4小题，每小题15分，共60分
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f1证明令Fxta
xsi
xx2则Fxsec2xsi
xta
xcosx2xta
x
3分
1cosx2x2ta
xx0cosx
7分
所以Fx在0

严格单调递增当x0时22

FxF00
即
ta
xxx0xsi
x2
5分
2证明：由
si
x1si
x13，而3收敛，由M判别法3在上一致收敛。3


（5分）
cos
x1cos
xcos
x1si
x因，而在上一致收敛。2，由2收敛知322
2


（5分）又
cos
x（
12……）在上连续，从而，fx具有连续的导数，从而fx也连续。
2
（5分）
txtxex，t3证因为esi
xe
（5分）5分）
而反常积分


0
exdx收敛，
所以由M判别法，积分
2


0
etxsi
xdx在t0上一致收敛（5分）
22
4证明：设P6xyyQ6xy3xy
3
PQ12xy3y2，所以yx
（7分）
积分与路径无关
3原式6x22dx632y33y2dyr