习题三
A组2设3α1α2α2α5α3α，其中
α12513Tα2101510Tα34111T求向量α
解由已知
3α2α5α3α12α25α3
即α（3α12α25α3（α12α25α33
16
16
所以
620201115252Tα123463105392054
3设向量组α1α2α3线性无关而向量组β1α1α2，βα1α2α3，β3α12α3试判断向量组β1β2β3的线性相关性解设数k1k2k3使得k1β1k2β2k3β30成立，即
k1α1α2k2α1α2α3k3α12α30，
k1k2k3α1k1k2α2k22k3α30
111k1k2k30得线性方程组k1k20，其系数行列式1101≠0k2k001223
线性方程组只有唯一解k1k2k30，则向量组β1β2β3的线性无关5已知向量组
α1123Tα2312Tα323cT问c取何值时向量组α1α2α3线性无
关或向量组α1α2α3线性相关解设数k1k2k3使得k1α1k2α2k3α30成立，
得线性方程组
123k13k22k302k1k23k30，其系数行列式3127c53k2kck023c231
T
所以
c50c5≠0
线性方程组有非零解向量组α1α2α3线性相关线性方程组只有零解向量组α1α2α3线性无关
6设向量组α1α2α3线性无关证明向量组α1α2α2α3α3α1也线性无关
f解：设数k1k2k3使得k1α1α2k2α2α3k3α3α10成立，（）
101k1k30得线性方程组k1k20，其系数行列式1102≠0kk001123
T
线性方程组只有唯一解k1k2k30，所以向量组α1α2α2α3α3α1线性无关7设向量组α1α2α3线性无关判断向量组α1α2α2α3α3α4α4α1线性相关性并证明之解：设数k1k2k3k4使得k1α1α2k2α2α3k3α3α4k4α4α10成立（）
k1k40kk012得线性方程组k2k30k3k40
1001
其系数行列式
110001100011
0
则线性方程组有非零解，所以向量组α1α2α2α3α3α4α4α1线性相关9若向量组
α1，α2，αm线性无关而向量β不能由α1，α2，αm线性表示证明向量组LL
α1，α2，αm，β线性无关L
证明r