初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
正弦定理和余弦定理
学习过程知识点1正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
si
A

b
si
B

c
si
C
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksi
A，bksi
B，cksi
C；
a
（2）si
A

b
si
B

c
a
si
C等价于si
A

b
c
si
B，si
C

b
a
si
B，si
A

c
si
C
从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a
bsi
Asi
Basi
B。b
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如si
A
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形知识点2余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a2b2c22bccosA
b2a2c22accosBc2a2b22abcosCb2c2a2cosA2bc变形公式：
a2c2b22ac2ba2c2cosC2bacosB
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。学习结论：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
si
A

b
si
B

c
si
C
（2）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a2b2c22bccosA
b2a2c22accosBc2a2b22abcosC
典型例题例题1．在ABC中，已知A320B818，a429cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，
C180AB180320818662；
根据正弦定理，
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b
asi
B429si
8180801cmsi
Asi
3200；asi
C429si
6620741cmsi
Asi
3200
0
根据正弦定理，
c
例题2、在ABC中，已知a23，c62，B60，求b及A
222解析：⑴解：∵bac2accosB
220236222362cos45212624331
8∴b22求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cosA∴A60
0
b2c2a212bc2
解法二：∵si
A
a3si
Bb2
又r