一道回味无穷的数学高考试题
1试题展示分）
∈N
2008全国2（20）（本大题满分12
设数列a
的前
项和为S
已知a1a，a
1S
3
，
（Ⅰ）设b
S
3
，求数列b
的通项公式；（Ⅱ）若a
1a
，
∈N，求a的取值范围2思路简析（Ⅰ）思路1依题意，S
1S
a
1S
3
，即S
12S
3
，由此得S
13
12（S
3
）因此，所求通项公式为b
S
3
（a3）2
1，
∈N思路2由a
1S
3
和a
2S
13
1消去S
和S
1得a
223
12（a
123
），
∈N从而数列a
123
是等比数列可求出a
再求出S
和b
思路3由b
S
3
a
123
得b
1a
223
1从而得b
1b
（a
223
1）（a
123
）2进一步可求出b
（Ⅱ）思路：由①于是，当
≥2时，a
S
S
12×3
1（a3）2
2，a
1a
4×3
1（a3）2
22
212（32）
2a3，当
≥2时，
fa
1≥a
12（32）
2a3≥0a312（32）
2恒成立a312（32）
2maxa≥9又a2a13a1综上，所求的的取值范围是3，∞）3五点闪光本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式、不等式成立的条件、函数单调性与最值等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及化归思想的应用31题意简明，人人能懂：本题的第一个闪光点就是题目简单易懂，人人平等，不管语文基础如何都能读懂，与过去一些高考题中有的题根本读不懂题意大不相同，如1999全国23（本小题满分14分）就不一样了请看：已知函数yf（x）的图像是自原点出发的一条折线，当
y
1（
0，1，2，…）时，该图像是斜率为b
的线段（其中正常数b≠1），设数列x
由f（x
）
（
1，2，…）定义Ⅰ求x1、x2和x
的表达式；Ⅱ求f（x）的表达式，并写出其定义域；Ⅲ证明：yf（x）的图像与yx的图像没有横坐标大于1的交点32依纲据本，突出重点：数列的重点内容之一是等比数列，高考很多题最终都要化为等比数列来解答，本题立足课本，体现了教材和大纲的指导作用公式s
a1a
q1qa11qq1qa

f与s
1s
a
在解题过程中发挥重要作用，在全日制普通高级中学教科书〈数学〉第一册（上）第142页第5题有类似的题：在数列a
中，a11，a
13S
，（
1），求证：a2，a3，…，a
是等比数列所以说，本题能依纲据本，又突出重点33方法多样，化归当先：本题方法多样，学生在解题中有很多选择的余地，遵循高考命题的一贯宗旨，突出了数学的第一思想——化归思想，把不会变为会做的，把新题变为旧题，这种做法在高考的很多资料上都有所体现，使学有似曾相识之感，只要努力学习的学生都能有所收获。34立意r