习
题
43
导数四则运算和反函数求导法则
⒈用定义证明cosxsi
x。证由于
cosxxcosx2si
xxxsi
，22
根据si
x的连续性和si

x2
xx0，可知2
xsi
cosxxcosxx2si
x。limlimsi
xlimx0x0x2x0x2
2证明：⑴cscxcotxcscx；⑶arccosx
1⑸chx
⑵cotxcsc2x；⑷arccotx
1；1x2
1。1x2
11x
2
；
1x1
2
；
⑹th1xcth1x
1si
xcosx解（1）cscxsi
xsi
2xsi
2xcotxcscx。1ta
xsec2x1（2）cotx2csc2x。22ta
xta
xta
xsi
x


（3）arccosxarcsi
x
2

11x2
。
（4）arccotxarcta
x
2

1。1x2
（5）ch1x（6）th1x
111chyshych2y1
1x21
。
1111，22thysechy1thy1x211112。2cthycschycthy11x2
cth1x
f3求下列函数的导函数：⑴fx3si
xl
xx；⑶fxx27x5si
x；⑸fxexsi
x4cosx⑺fx
1；xcosx
⑵fxxcosxx23；⑷fxx23ta
x2secx；⑹
fx2si
xx2x3x2
3；x
；
⑻fx⑽fx
xsi
x2l
x；x1
xsi
xcosx；xsi
xcosx
x3cotx；⑼fxl
x
⑾fxexlog3xarcsi
x；⒀fx
xsecx；xcscx
⑿fxcscx3l
xx2shx；⒁fx
1x
xsi
x；arcta
x
解（1）fx3si
xl
xx3cosx
12x
。
（2）fxxcosxxcosxx23cosxxsi
x2x。（3）fxx27x5si
xx27x5si
x
2x7si
xx27x5cosx。
（4）fxx23ta
x2secxx23ta
x2secx
2x3ta
x2secxx23sec2x2ta
xsecx。
（5）fxexsi
xexsi
x4cosx
33exsi
xcosx4si
xx2。2
3x

（6）fxx2si
x2xx2si
x2x
xx

23

23
12cosx2l
2x
x

23
2x2si
x2xx3。3
5
f（7）fx（8）fx

xcosxsi
x1。2xcosxxcosx2
xsi
x2l
r