（答：2a4b）；33



（4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的
值是___
（答：0）
四．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定
如下：1aa2当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的
方向与a的方向相反，当＝0时，a0，注意：a≠0。五．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAaOBb，AOB
0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，
当＝时，a，b垂直。2
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量abcos叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝abcos。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如



（1）△ABC中，AB3，AC4，BC5，则ABBC_________
（答：－9）；
（2）已知a11b01cakbdab，c与d的夹角为，则k等于____
2
2
4
（答：1）；
（3）已知a2b5ab3，则ab等于____
（答：23）；
（4）已知ab是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角为____
（答：30）
3．b在a上的投影为bcos，它是一个实数，但不一定大于0。如





已知a3，b5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______
（答：12）5
f4．ab的几何意义：数量积ab等于a的模a与b在a上的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：①abab0；
②当a，b同向时，a

b
＝
a
b
，特别地，
2
a
aa
2
a
a

2
a
；当a
与b
反向
时，ab＝－ab；当为锐角时，ab＞0，且a、b不同向，ab0是为锐角的必
要非充分条件；当为钝角时，ab＜0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件；
③非零向量a，b夹角的计算公式：cosab；④abab。如ab



（1）已知a2，b32，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是
______
（答：4或0且1）；
3
3
（2）已知
OFQ的面积为
S

，且OF

FQ

1，若
1

S

3

，则OFFQ夹角
的
2
2
取值范围是_________
（答：）；43
（3）已知acosxsi
xbcosysi
ya与b之间有关系式
kab3akb其中k0，①用k表示ab；②求ab的最小值，并求此时a与b的夹角
的大小
（答：①abk21k0；②最小值为1，60）
4k
2
f六．向量的运算：1．几何运r