2011高中数学竞赛培训教材
编者：全国特级教师
一集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言术语与符号来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程组或不等式组的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝XXa2b2a、b∈Z，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25，
2，中任取两个相同或不相同数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即a2b2c2d2M2N2，MN∈Z证明：设X1＝a2b2，X2c2d2，a、b、c、d∈Z则X1X2＝a2b2c2d2＝a2c2b2d2b2c2a2d2＝a2c22acbdb2d2b2c22bcada2d2＝acbd2bcad2又a、b、c、d∈Z，故acbd、bcad∈Z，从而X1X2∈A练习1设两个集合Sxx12m8
m
∈ZTxx20p16qpq∈Z求证：ST。2设Maax2y2xy∈Z求证：（1）一切奇数属于M（2）4k2k∈Z不属于M（3）M中任意两个数的积仍属于M。3已知函数f（x）x2axbab∈R且AxxfxBxxffx1求证AB
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f2若A1，3时，求集合B二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M＝X，XY，lgxy，S＝0，X，Y，且M＝S，则X＋1Y＋X2＋1Y2＋＋X2002＋1Y2002的值等于分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系子、全、补、交、异、空、等有本质的理解，对于两个相等的有限集合数集，还会用到它们的简单性质：a相等两集合的元素个数相等；b相等两集合的元素之和相等；c相等两集合的元素之积相等解：由M＝S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY≠0，故X，Y均不为零，所以只能有lgXY＝0，从而XY＝1∴M＝X，1，0，S＝0，X，1X再由两集合相等知
当X＝1时，M＝11，0，S＝01，1，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X＝1不满足题目要求；当X＝r