第5讲简单的三角恒等变换
基础知识整合
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
1
f1．降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α，si
2α＝1－c2os2α
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2si
2α
3．公式变形：ta
α±ta
β＝ta
α±β1ta
αta
β．
4．辅助角公式：asi
x＋bcosx＝a2＋b2si
x＋φ，
其中si
φ＝
a2b＋b2，cosφ＝
aa2＋b2
2
f1．2018全国卷Ⅲ若si
α＝13，则cos2α＝

87
7
8
A9B9C．－9D．－9
答案B解析cos2α＝1－2si
2α＝1－29＝79故选B
2．2019吉林模拟若si
π－α＝13，且π2≤α≤π，则si
2α的值为

A．－492
B．－292
C292
D492
答案A解析∵si
π－α＝13，即si
α＝13，又π2≤α≤π，
∴cosα＝－1－si
2α＝－232，
∴si
2α＝2si
αcosα＝－4
9
2
3．2016全国卷Ⅲ若ta
θ＝－13，则cos2θ＝

A．－45
B．－15
C15
D45
3
f答案D解析解法一：cos2θ＝cos2θ－si
2θ＝ccooss22θθ－＋ssii
22θθ＝11－＋ttaa
22θθ＝45故选D
解法二：由ta
θ＝－13，可得si
θ＝±
1，因而10
cos2θ＝1－2si
2θ＝45
4．2019南宁联考若角α满足si
α＋2cosα＝0，则ta
2α＝
43
34
A．－3B4C．－4D3
答案D解析由题意知，ta
α＝－2，ta
2α＝1－2ttaa
α2α＝43故选D
5．若函数fx＝1＋3ta
xcosx0≤xπ2，则fx的最大值为

A．1
B．2
C3＋1
D3＋2
答案B
解析fx＝1＋3scio
sxxcosx＝cosx＋3si
x＝2si
x＋π6，∴当x＝π3时，fx
取得最大值2
6．2017全国卷Ⅰ已知α∈0，π2，ta
α＝2，则
cosα－π4＝________
310答案10
解析cosα－π4＝cosαcosπ4＋si
αsi
π4
＝22cosα＋si
α．
又由α∈0，π2，ta
α＝2，
知si
α＝255，cosα＝55，
∴cosα－π4＝22×55＋255＝31010
核心考向突破考向一三角函数的化简
4
f例112018全国卷Ⅰ已知函数fx＝2cos2x－si
2x＋2，则
A．fx的最小正周期为π，最大值为3
B．fx的最小正周期为π，最大值为4
C．fx的最小正周期为2π，最大值为3
D．fx的最小正周期为2π，最大值为4
答案B
解析根据题意，有fx＝32cos2x＋52，所以函数fx的最小正周期为T＝22π＝π，
且最大值为fxmax＝32＋52＝4故选B
22018全国卷Ⅲ函数fx＝1＋tat
ax
2x的最小正周期为

Aπ4Bπ2C．πD．2π
答案C
si
x解析由已知得fx＝1＋tat
ax
2x＝1＋coscsiox
sxx2＝si
xcosx＝12si
2x，fx的最小正周期
T＝22π＝π故选C
触类旁通
三角函数式化简的常用方法
1异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，
能求值的求出值，减少角的个数．
2异名化同名：统一三角r