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第5章连续时间信号与系统的复频域分析
50引言
通过前两章的学习我们已经看到，在信号与系统的研究中，傅里叶变换是一个强有力的分析工具，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切LTI系统的特征函数。
傅里叶变换的理论基础是将信号分解为正弦指数信号，即ejt和ej
基于这一原理，也可以将一个信号分解为复指数信号est和z
，从而得到拉普拉斯变换和Z变换。将傅里
叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Z变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的许多方面这主要表现在系统函数及其零极点的应用方面。
本章将介绍拉氏变换的基本内容，从下面的分析可以看出，拉氏变换分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它的特例。
51双边拉普拉斯变换
511双边拉普拉斯变换的定义
复指数信号est是一切LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为ht，则系统对est产生的响应是：
其中
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f当sj时，就是傅里叶变换。
下面给出拉普拉斯变换的定义：
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称为xt的双边拉氏变换，其中sj。
若0sj，则Xjxtejtdt就是xt的傅里叶变换。
表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在0或是在j轴上的特例。
由于
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所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，xt的拉氏变换就是xtet的傅里叶变换。只要有合适的存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入et后满足该条
件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这说明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
512双边拉普拉斯变换的收敛域
我们首先来看几个常用信号的例子。
例51分析右边信号xteatut的拉普拉斯变换。
由拉普拉斯变换的定义，有
当Resa时上式收敛，当a0时，xt的傅里叶变换存在：
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显然，在a0时，使拉氏变换收敛的区域Resa（如图所示），包括了0即（j
轴）。
比较Xs和Xj，显然有：
当a0时，xteatutut可知：
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，
图51收敛域（例51）
图52收敛域（例52）
例52分析右边信号xtr