函数的奇偶性和周期性1．函数奇偶性的定义（1）奇函数：对于函数fx定义域内任意一个x，都有fxfx，则fx为奇函数。（2）偶函数：对于函数定义域内任意一个x，都有fxfx，则fx为偶函数。判函数奇偶性时要注意：①定义域关于原点对称②fxfx（奇）fxfx（偶）注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。函数按奇偶性分类可分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数。2．判函数奇偶性的方法（1）定义法（利用函数奇偶性的定义进行判断）（2）等价法（间接法）①定义域关于原点对称，②若fxfx0，则fx为奇函数。若fxfx0则fx为偶函数（3）图象法①若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；②若函数图象关于y轴对称，则函数偶函数。（4）利用以下结论判断（在定义域的公共部分内）①奇函数奇函数奇函数②奇函数×奇函数偶函数奇函数奇函数偶函数③偶函数偶函数偶函数④偶函数×偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数⑤奇函数×偶函数奇函数⑥非零的偶函数非零的奇函数非奇非偶函数特别注意：①证明一个函数是奇函数或偶函数可以用以上方法（最常用的是定义法或等价法）②证明一个函数是非奇非偶函数，一般利用特殊性来证明。如证明函数fxx1是非奇非偶函数，我们可以这样书写证明过程：因为f12，f10所以f1≠f1且f1≠f1，故函数fx是非奇非偶函数3．函数奇偶性的一些常用结论（1）奇函数：①若奇函数fx在x0处有定义，那么f00，②若函数fx是奇函数则它的图象关于原点对称③若函数fx为奇函数那么它在对称区间上单调性相同④若fx为奇函数，则它的定义域关于原点对称且fxfx⑤奇函数的反函数也为奇函数。（2）偶函数：①若fx为偶函数则它的图象关于轴y对称②若fx为偶函数，那么它在对称区间上单调性相反③若fx为偶函数则它的定义域关于原点对称且fxfx（3）若一个函数既是奇函数又是偶函数，则该函数的值域为04定义在（∞，∞）上的任意函数fx都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数之和。即fx4．周期函数（1）周期函数的定义：对于函数yfx，如果存在一个不等于零的常数T，使得当x取定义域内的任意一个值时，都有fxTfx，则fx是周期函数，T是它的一个周期。（2）对于一个周期函数而言，如果在所有的周期中存在一个最小的正周期，就把这个周期称为该函数的最小正周期。若T是函数的一个周期，则
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