§8函数方程
许多函数方程的解决仅以初等数学为工具解法富于技巧对人类的智慧具有明显的挑战
意味因此函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。
1、确定函数的形式
尚无一般解法需因题而异其解是多样的有无限多解的有有限个解的有可能无解如方程012
2xfxf无解。
2、确定函数的性质
3、确定函数值
三、求函数的解析式
1、换元法
2、赋值法
四、研究函数的性质例题讲解
1设函数xf满足条件xxfxf21213求xf。
2设函数xf定义于实数集R且xf满足条件xxxfxf11求xf。
3函数xf在0x处没有定义但对所有非零实数x有xxfxf312
求xf。
f4求满足条件4221xxxfxfx的xf。
5设函数xf定义于实数集R上且10f若对于任意实数m、
都有12
m
mf
mf求xf。
6设函数xf定义于自然数集N上且11f若对于任意自然数x、y都有xyyfxfyxf求xf。
7设函数xf定义于R上且函数xf不恒为零02
π
f若对于任意实数x、y恒有2
22yxfyxfyfxf。①求证2xfxfπ
②求证xfxf
③求证1222xfxf
8对常数m和任意x等式
11xfxfmxf都成立求证函数xf是周期函数。
f
9设函数xf定义于实数集R上函数xf不恒为零且对于任意实数1x、2x都有22212121xxfxxfxfxf求证xfxf。
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