学科：数学教学内容：含绝对值不等式的解法
【自学导引】
1．绝对值的意义是：
x

xxxx
00

2．｜x｜＜aa＞0的解集是｛x｜－a＜x＜a｝．｜x｜＞aa＞0的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝．
【思考导学】1．ax＋b＜bb＞0转化成－b＜ax＋b＜b的根据是什么？答：含绝对值的不等式ax＋b＜b转化－b＜ax＋b＜b的根据是由绝对值的意义确定．2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．
【典例剖析】［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7．
解法一：原不等式等价于

22
xx

55

27
∴
2x52或2x72x5
7
5

2
即
x7或x21x6
32
∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜3或7＜x≤6｝22
解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集
Ⅰ
22
x52x

05

7
Ⅱ
22
x5052x

7
f不等式组Ⅰ的解集为｛x｜7＜x≤6｝2
不等式组Ⅱ的解集是｛x｜－1≤x＜3｝2
∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜3或7＜x≤6｝22
解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．Ⅰ2＜2x－5≤7
Ⅱ2＜5－2x≤7
不等式Ⅰ的解集为｛x｜7＜x≤6｝2
不等式Ⅱ的解集是｛x｜－1≤x＜3｝2
∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜3或7＜x≤6｝．22
点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转
化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．
［例2］解关于x的不等式：1｜2x＋3｜－1＜aa∈R；
2｜2x＋1｜＞x＋1．解：1原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1
当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－a＋1＜2x＋3＜a＋1
－a4＜x＜a2
2
2
当a＋1≤0即a≤－1时，原不等式的解集为，
综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－a4＜x＜a2
2
2
当a≤－1时，原不等式的解集是．
2原不等式可化为下面两个不等式组来解
Ⅰ
2x2x

11

0x

1
或Ⅱ
2x102x1

x

1
不等式组Ⅰ的解为x＞0
不等式组Ⅱ的解为x＜－23
∴原不等式的解集为｛x｜x＜－2或x＞0｝3
点评：由于无论x取何值，关于x的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜fx｜＜aa≤0的解集为．
解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如1对变量分类，解集必须合并如2．
［例3］解不等式x－2x＋1＞1．解：∵由x－2x＋1＞1等价于xr