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学科:数学教学内容:含绝对值不等式的解法
【自学导引】
1.绝对值的意义是:
x

xxxx
00

2.|x|<aa>0的解集是{x|-a<x<a}.|x|>aa>0的解集是{x|x<-a或x>a}.
【思考导学】1.ax+b<bb>0转化成-b<ax+b<b的根据是什么?答:含绝对值的不等式ax+b<b转化-b<ax+b<b的根据是由绝对值的意义确定.2.解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么?答:解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同.
【典例剖析】[例1]解不等式2<|2x-5|≤7.
解法一:原不等式等价于

22
xx

55

27

2x52或2x72x5
7
5

2

x7或x21x6
32
∴原不等式的解集为{x|-1≤x<3或7<x≤6}22
解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集

22
x52x

05

7

22
x5052x

7
f不等式组Ⅰ的解集为{x|7<x≤6}2
不等式组Ⅱ的解集是{x|-1≤x<3}2
∴原不等式的解集是{x|-1≤x<3或7<x≤6}22
解法三:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集.Ⅰ2<2x-5≤7
Ⅱ2<5-2x≤7
不等式Ⅰ的解集为{x|7<x≤6}2
不等式Ⅱ的解集是{x|-1≤x<3}2
∴原不等式的解集是{x|-1≤x<3或7<x≤6}.22
点评:含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转
化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三.
[例2]解关于x的不等式:1|2x+3|-1<aa∈R;
2|2x+1|>x+1.解:1原不等式可化为|2x+3|<a+1
当a+1>0,即a>-1时,由原不等式得-a+1<2x+3<a+1
-a4<x<a2
2
2
当a+1≤0即a≤-1时,原不等式的解集为,
综上,当a>-1时,原不等式的解集是{x|-a4<x<a2
2
2
当a≤-1时,原不等式的解集是.
2原不等式可化为下面两个不等式组来解

2x2x

11

0x

1
或Ⅱ
2x102x1

x

1
不等式组Ⅰ的解为x>0
不等式组Ⅱ的解为x<-23
∴原不等式的解集为{x|x<-2或x>0}3
点评:由于无论x取何值,关于x的代数式的绝对值均大于或等于0,即不可能小于0,故|fx|<aa≤0的解集为.
解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如1对变量分类,解集必须合并如2.
[例3]解不等式x-2x+1>1.解:∵由x-2x+1>1等价于xr
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