上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题
一、填空题（每小题5分，共50分）1．设函数fx满足2f3xf23x6x1，则fx2X1．
2．设abc均为实数，且364，则
ab
11ab
12
．
3．设a0且a≠1，则方程a1x2x2a的解的个数为
x2
2
．．．
4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为495．112233L

11
6．设不等式xx1≤y1y与x
MN，则k的最小值为2
．
2
y2≤k的解集分别为M和N．若
7
．
设
函
数
fx
．
xx
，
则
S12fx3f2xL
f
1x
8．设a≥0，且函数fxacosxasi
x的最大值为
25，则2
a
．
9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚．在考试的考生的概率为
10．已知函数f1x
2x1，对于
12L，定义f
1xf1f
x，若x1
．
f35xf5x，则f28x
f二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1O2O3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r10mmh4mm时，R的值．
12．设函数fxsi
xcosx，试讨论fx的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在02π内的图像．
f13．已知线段AB长度为3，两端均在抛物线xy2上，试求AB的中点M到y轴的最短距离和此时M点的坐标．
14．设fx1ax4x33a2x24a，试证明对任意实数a：（1）方程fx0总有相同实根；（2）存在x0，恒有fx0≠0．
f15．已知等差数列a
的首项为a，公差为b，等比数列b
的首项为b，公比为
a，
12L，其中ab均为正整数，且a1b1a2b2a3．
（1）求a的值；（2）若对于a
b
，存在关系式am1b
，试求b的值；（3）对于满足（2）中关系式的am，试求a1a2Lam．
参考答案：12x123456

2
12
94

11
2
7
1x02
1
112
1x04
89
±22
43452x353x22rr，R60mmh
10
11R
1212


；
偶
函
数
；
1π1kπkπ224
k∈r