－p）3
1］，整理得
1（2－p）（3－p）2
3
＝0，解得p2或p3。6
（Ⅱ）证明：设｛a
｝、｛b
｝的公比分别为p、q，p≠q，c
a
b
。为证｛c
｝不是等比数列只需证c22≠c1c3。事实上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，c1c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），22由于p≠q，p＋q＞2pq，又a1、b1不为零，
f因此c22≠c1c3，故｛c
｝不是等比数列。点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。例4．（2003京春，21）如图31，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，，圆O
1与圆O
外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去记圆O
的面积为a
（
∈N），证明a
是等比数列；
rr3l1证明：记r
为圆O
的半径，则r1ta
30°l。
1
si
30°，22r
1r
6
所以r

图31
rl2a
11
2，故a
成等比数列。r
－1（
≥2），于是a1πr1212a
1r
193
点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。题型3：等比数列的通项公式及应用例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。解析：设所求的等比数列为a，aq，aq2；则2aq4aaq2，且aq42aaq232；
2，q－5；921050故所求的等比数列为2，618或，－，。999点评：第一种解法利用等比数列的基本量a1q，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列
解得a2，q3或a的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。等比数列，求数列a
的通项a
例6．（2006年陕西卷）已知正项数列a
，其前
项和S
满足10S
a
25a
6且a1a2a15成
解析：∵10S
a
25a
6，①∴10a1a125a16，解之得a12或a13。又10S
－1a
－125a
－16
≥2，②由①－②得10a
a
2－a
－126a
－a
－1，即a
a
－1a
－a
－1－50∵a
a
－10∴a
－a
－15
≥2。当a13时，a313，a1573，a1a3a15不成等比数列∴a1≠3；当a12时，a312，a1572，有a32a1a15∴a12∴a
5
－3。点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。题型4：等比数列的求和公式及应用则S
等于（A．2
1
例7．（1）（2006年辽宁卷）在等比数列a
中a12前
项和为S
若数列a
1也是等比数列，）
2
B．3r