复旦大学2000年保送生招生测试数学试题(理科)
一、填空题(每小题10分,共60分)1.将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含二个数,第三组含三个数,……,第
组含
个数,即1;2,3;4,5,6;…….令a
为第
组数之和,则a
=________________.2.si
si
22
si
2=______________.33
3.lim
2log2
22
1log2
1
log2
=_________________.4.已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度,又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角,和底面成60度角,则两对角面面积之比为__________________.5.正实数xy满足关系式x2xy4=0,又若x≤1,则y的最小值为_____________.6.一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进,当车尾经过某站台时,有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件,然后原速返回,返回中与车尾相遇时,此人发现这时正在离站台1000米处,假设摩托车车速不变,则摩托车从出发到站台共行驶了______________米.二、解答题(每小题15分,共90分)1.数列a
适合递推式a
1=3a
4,又a1=1,求数列前
项和S
.2.求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗?请叙述但不必证明.3.正六棱锥的高等于h,相邻侧面的两面角等于2arcsi
求该棱锥的体积.cos
12
1326,2
1264
4.设z1z2z3z4是复平面上单位圆上的四点,若z1z2z3z40.求证:这四个点组成一个矩形.5.设12
x
y
2,其中x
y
为整数,求
→∞时,
x
的极限.y
6.设平面上有三个点,任意二个点之间的距离不超过1.问:半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点.请证明你的结论.
2001复旦基地班数学试题
1234设函数y
x的反函数是它自身,则常数a_______________。xa
2
不等式log2xlog2x2的解集是_______________。直线2x7y80与2x7y60间的距离是_______________。如果3x的展开式的系数和是1y的展开式的系数和的512倍,那么自然数
与m的关系为
m
5678
_______________。3椭圆的焦距是_______________。42cos己知4x3y50,那么x1y3的最小值为_______________。
22
与正实轴夹角为arcsi
si
3的直线的斜率记为k,则arcta
k_______________。(结果用数值表示)从
个人中选出m名正式代表与若干名非正式代表,其中非正式代表至r