复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）
一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第
组含
个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a
为第
组数之和，则a
＝________________．2．si
si
22


si
2＝______________．33

3．lim
2log2
22
1log2
1
log2
＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数xy满足关系式x2xy4＝0，又若x≤1，则y的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列a
适合递推式a
1＝3a
4，又a1＝1，求数列前
项和S
．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于2arcsi
求该棱锥的体积．cos

12
1326，2

1264
4．设z1z2z3z4是复平面上单位圆上的四点，若z1z2z3z40．求证：这四个点组成一个矩形．5．设12
x
y
2，其中x
y
为整数，求
→∞时，
x
的极限．y

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．
2001复旦基地班数学试题
1234设函数y
x的反函数是它自身，则常数a_______________。xa
2
不等式log2xlog2x2的解集是_______________。直线2x7y80与2x7y60间的距离是_______________。如果3x的展开式的系数和是1y的展开式的系数和的512倍，那么自然数
与m的关系为
m
5678
_______________。3椭圆的焦距是_______________。42cos己知4x3y50，那么x1y3的最小值为_______________。
22
与正实轴夹角为arcsi
si
3的直线的斜率记为k，则arcta
k_______________。（结果用数值表示）从
个人中选出m名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至r