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2012中考数学压轴题函数等腰三角形问题一例1
如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P0m是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．
图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第3题”，拖动点P由O向C运动，可以体验到，H在以OM为直径的圆上运动．点双击按钮“第2题”可以切换．
思路点拨
1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．
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3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．
满分解答
（1）因为PCDB，所以CP
BDPMDMMCMB1．因此
PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所
以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为2，4－m．（2）在△APD中，AD2
4m
2
，AP2
m4，PD2PM442m
2
2
2
2
．
①当AP＝AD时，4m2②当PA＝PD时，m2舍去）．③当DA＝DP时，4m2舍去）．
m4
2
．解得m

32
（如图3）．
43
4442m
2
．解得m

（如图4）或m
4
（不合题意，
442m
2
．解得m

23
（如图5）或m
2（不合题意，
综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为3，4或2．
233
图3（3）点H所经过的路径长为
54
图4

图5
．
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考点伸展
第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以
PCCMMBBA12
．因此PC

12
，m

32
．
2m
②如图4，PA＝PD时，在AD的垂直平分线上．当P所以DA＝2PO．因此4m得m
43
．解
．
第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt△r