习题11A（P15）提示（仅供参考）（）提示（
1．义（ε
0语
11

）证
：
（1）lim证明：
11
11
11，故对ε0，欲使1ε，只需ε，即
。
ε


11故对ε0，取
0max1（注意：不能写成
0max1，以下几个εε类似），当
0时有
11ε
11
si
（2）lim0

故lim
证明：
11si
1si
0，故对ε0，欲使0ε，只需ε，即
。
ε


1故对ε0，取
0max1，当
0时有ε
si
0ε
故limsi
0

2112
22
（3）lim

2111
21112，故对ε0，欲使ε，只需2ε，证明：222
22
2
22
即
11。故对ε0，取
0max1当
0时有2ε2ε

211ε2
22
f故lim

2112
22101
1
（4）lim
证明：
11110，故对ε0，欲使0ε，只需ε，
1
11
1

即

1。故对ε0，取
0max21当
0时有εε
1
2
11
1
0ε
故lim
11
1
0
（5）lim

0

11
12
1
证明：
0故对ε0，欲使
0ε，只需ε，
。即L，
ε



1故对ε0，取
0max1当
0时有ε
0ε

故lim

0

1）


（注意：若用夹逼法：0（6）lim
a
0a0

证明：
aaa
aaaaaa1L1，故0LL，注意到
1
12aa1
1
a1
a
aa1a
aa1aa100ε，只需，，欲使。ε，即


ε
faa1故对ε0，取
0max1当
0时有ε
a
0ε
故lima
0a0

a
aa1（注意：若用夹逼法：0）
2．证明：lima
a的充分必要条件是对ε0，只有a
的有限多项不在
aεaε中。
证明：（必要性）若lima
a，则ε0，
0∈N，
0时有a
aε，故至多有
0项在不再aεaε中。（充分性）对ε0，只有a
的有限多项不在aεaε中，不妨设不在
aεaε中项为a
1a
2La
k
，取
0max
1
2
k（即取不在
aεaε中项脚标的最大者，故当
0时有a
a
ε，即lima
a。
4证明若lima
a，则lima
a。反之不一定，举例说明。但若lima
0，则有lima
0证r