4
4求矩阵
A

21
12
的特征值和特征向量。
《线性代数》试卷（A）
第1页共10页
f5用配方法化二次型fx122x225x322x1x22x1x36x2x3成标准型。
得分四、综合体每小题8分共16分
1解下列非齐次线性方程组
4
2x1x1
2
x2x2

x3x412x3x42
2x1x2x3x41
《线性代数》试卷（A）
第1页共10页
f2已知向量组
123
a1

2a2

3a3


1

3116
求1向量组的秩；2向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用
该最大无关组线性表示。
得分五、证明题（5分）
证明：设
阶方阵A满足A2A2E0，证明A及A2E都可逆，并求A1及A2E1。
《线性代数》试卷（A）
第1页共10页
f一、单项选择题。每小题3分共24分1A2B3C4B5C6二、填空题。每小题3分共15分
C7D8C
14
2
24
16
3
xc11c22c1c2R
4
r
5
2
三、计算题每小题8分共40分1
10251025
1
解：
2
1
30
2
32………………（2分）
210101411
1
34203
2
7

1025
01
4
11

………………（2
分）
00520
0
0
10
40

1025
0
14
11

………………（2
分）
00520
00
0
0

0………………（2分）
1022已知矩阵A213，求其逆矩阵A1。
418
102100解：AE213010………………（2分）
418001
1001122
r

0
1
0
4
0
1

………………（4分）
001611
《线性代数》试卷（A）
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f1122
则
A1



4
0
1

………………（2
分）
611
3设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123是它的三个解向量且
2
1
1

34
，2
3

23
，求该方程组的通解。
5
4
解：由已知可得：对应的齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为431，因此齐次线性方程组Ax0的任意非零解即为它的一个基础解系。………………（3分）
令2123
则AA21232A1A2A32bbb0
所以3456T0为齐次线性方程组Ax0的一个基础解系。………（3分）
由此可得非齐次线性方程组Axb的通解为：
32xkk43kR………………（2分）
5465
4求矩阵
A

21
12
的特征值和特征向量。
解：A的特征多项式为：
21
AE
13
12
所以A的特征值为1123。………………（4分）
（1）当11时，对应的特征向量满足
11
1x1
1

x2


00
，解得：
x1

x2
《线性代数》试卷（A）
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f则
1

1对应的特征向量可取
p1

11
………………（2
分）
（2）当13时，对应的特征向量满足
1

1
11
x1x2


00
，解得：
x1

x2
r