竞赛讲座12－覆盖
一个半径为1的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的．反过来则不然，一个
半径为
的圆无法盖住单位圆．那么两个半径为
的圆能否盖住呢？不妨动手实验
一下，不行．为什么不行？需几个这样的小圆方能盖住大圆？……，这里我们讨论的就是覆盖问题，它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题．定义设Ｇ和Ｆ是两个平面图形．如果图形Ｆ或由图形Ｆ经过有限次的平移、旋转、对称等变换扣得到的大小形状不变的图形Ｆ′上的每一点都在图形Ｇ上．我们就说图形Ｇ覆盖图形Ｆ；反之，如果图形Ｆ或Ｆ′上至少存在一点不在Ｇ上，我们就说图形Ｇ不能覆盖图形Ｆ．关于图形覆盖，下述性质是十分明显的：（１）（２）图形Ｇ覆盖自身；图形Ｇ覆盖图形Ｅ，图形Ｅ覆盖图形Ｆ，则图形Ｇ覆盖图形Ｆ．
１．最简单情形——用一个圆覆盖一个图形．首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到：定理１如果能在图形Ｆ所在平面上找到一点Ｏ，使得图形Ｆ中的每一点与Ｏ的距离都不大于定长ｒ，则Ｆ可被一半径为ｒ的圆所覆盖．定理２对于二定点Ａ、Ｂ及定角α若图形Ｆ中的每点都在ＡＢ同侧，且对Ａ、Ｂ视角不小于α，则图形Ｆ被以ＡＢ为弦，对ＡＢ视角等于α的弓形Ｇ所覆盖．在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中，上述二定理应用十分广泛．
例１求证：（１）周长为２ｌ的平行四边形能够被半径为
的圆面所覆盖．
（２）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是２ｌ，不管线圈形状如何，都可
以被个半径为
的圆纸片所覆盖．
f分析（１）关键在于圆心位置，考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．（２）＂曲＂化＂直＂．对比（１），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．证明（１）如图４５－１，设ＡＢＣＤ的周长为２ｌ，ＢＤ≤ＡＣ，ＡＣ、ＢＤ交于Ｏ，Ｐ为周界上任意一点，不妨设在ＡＢ上，则∠１≤∠２≤∠３，有ＯＰ≤ＯＡ．又ＡＣ＜ＡＢ＋ＢＣ＝ｌ，
故ＯＡ＜
．
因此周长为２ｌ的平行四边形ＡＢＣＤ可被以Ｏ为圆心；半径为题得证．
的圆所覆盖，命
（2）如图452在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l又设RQ中点为G，M为线圈耻任意一点，连MR、MQ，则
因此，以G为圆心，
长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．
f例２△ABC的最大边长是ａ，则这个三角形可被一半径为分析ａ为最大边，所对角A满足６０°≤A＜１８０°．
的圆所覆盖．
证明不妨设BC＝ａ，以BCr