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竞赛讲座12-覆盖
一个半径为1的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的.反过来则不然,一个
半径为
的圆无法盖住单位圆.那么两个半径为
的圆能否盖住呢?不妨动手实验
一下,不行.为什么不行?需几个这样的小圆方能盖住大圆?……,这里我们讨论的就是覆盖问题,它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题.定义设G和F是两个平面图形.如果图形F或由图形F经过有限次的平移、旋转、对称等变换扣得到的大小形状不变的图形F′上的每一点都在图形G上.我们就说图形G覆盖图形F;反之,如果图形F或F′上至少存在一点不在G上,我们就说图形G不能覆盖图形F.关于图形覆盖,下述性质是十分明显的:(1)(2)图形G覆盖自身;图形G覆盖图形E,图形E覆盖图形F,则图形G覆盖图形F.
1.最简单情形——用一个圆覆盖一个图形.首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到:定理1如果能在图形F所在平面上找到一点O,使得图形F中的每一点与O的距离都不大于定长r,则F可被一半径为r的圆所覆盖.定理2对于二定点A、B及定角α若图形F中的每点都在AB同侧,且对A、B视角不小于α,则图形F被以AB为弦,对AB视角等于α的弓形G所覆盖.在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中,上述二定理应用十分广泛.
例1求证:(1)周长为2l的平行四边形能够被半径为
的圆面所覆盖.
(2)桌面上放有一丝线做成的线圈,它的周长是2l,不管线圈形状如何,都可
以被个半径为
的圆纸片所覆盖.
f分析(1)关键在于圆心位置,考虑到平行四边形是中心对称图形,可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合.(2)"曲"化"直".对比(1),应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心.证明(1)如图45-1,设ABCD的周长为2l,BD≤AC,AC、BD交于O,P为周界上任意一点,不妨设在AB上,则∠1≤∠2≤∠3,有OP≤OA.又AC<AB+BC=l,
故OA<

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心;半径为题得证.
的圆所覆盖,命
(2)如图452在线圈上分别取点R,Q,使R、Q将线圈分成等长两段,每段各长l又设RQ中点为G,M为线圈耻任意一点,连MR、MQ,则
因此,以G为圆心,
长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈.
f例2△ABC的最大边长是a,则这个三角形可被一半径为分析a为最大边,所对角A满足60°≤A<180°.
的圆所覆盖.
证明不妨设BC=a,以BCr
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