242
抛物线的简单几何性质
双基达标
2
限时20分钟．
1．经过抛物线y＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是A．6x－4y－3＝0C．2x＋3y－2＝0B．3x－2y－3＝0D．2x＋3y－1＝0
112解析设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y＝2x的焦点F，0，所以3×－2×022＋c＝0，3所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0选A2答案A2．过点1，0作斜率为－2的直线，与抛物线y＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为A．213C．217B．215D．219
2

．
解析不妨设A，B两点坐标分别为x1，y1，x2，y2，其中x1x2由直线AB斜率为－2，且过点1，0得直线AB的方程为y＝－2x－1，代入抛物线方程y＝8x得4x－1＝8x，整理得x－4x＋1＝0，解得x1＝2＋3，x2＝2－3，代入直线AB方程得y1＝－2－23，
222
y2＝23－2故A2＋3，－2－23，B2－3，23－2．
AB＝（x1－x2）＋（y1－y2）＝215答案B3．已知抛物线y＝2pxp0，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A．x＝1C．x＝2B．x＝－1D．x＝－2．
222
解析抛物线的焦点为F，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y22＋，代入y＝2px得y＝2py＋＝2py＋p，即y－2py－p＝0，由根与系数的关系得22
p
p
p
2
2
p
2
2
2
y1＋y2
2
＝p＝2y1，y2分别为点A，B的纵坐标，所以抛物线方程为y＝4x，准线方程为x
2
＝－1
f答案B4．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．解析∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．∴所求抛物线方程为x＝±16y答案x＝±16y→→25．已知O为坐标原点，F为抛物线y＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OAAF＝－4，则点
22
A的坐标是________．
解析∵抛物线的焦点为F1，0，设A
y02
4
，y0，
y0→y0→则OA＝，y0，AF＝1－，－y0，44
→→由OAAF＝－4，得y0＝±2，∴点A的坐标是1，2或1，－2．答案1，2或1，－26．求适合下列条件的抛物线的标准方程：1顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；2顶点是双曲线16x－9y＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解1由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8因22
2222
2
2
p
p
此，所求抛物线的标准方程为y＝±16x或x＝±16y2双曲线方程16x－9y＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为－3，9160，故抛物线顶点在原点，r