第4讲
例1成都市中考第28题
因动点产生的平行四边形问题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5，求a的值；4
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
图1
备用图
思路点拨
1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．
满分解答
（1）由y＝ax2－2ax－3a＝ax＋1x－3，得A－10．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D45a．由A－10、D45a，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．设Exax2－2ax－3a，Fxax＋a，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．
11EFxExAEFxExC22111325＝EFxCxA＝ax23ax4a＝ax2a，22228252552得△ACE的面积的最大值为a．解方程a，得a．8845
由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝（3）已知A－10、D45a，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图2，如果AD为矩形的边，那么ADQP，AD＝QP，对角线AP＝QD．
f由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．当x＝－4时，y＝ax＋1x－3＝21a．所以Q－421a．由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P126a．由AP2＝QD2，得22＋26a2＝82＋16a2．整理，得7a2＝1．所以a
7267．此时P1，．77
②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q2－3a．由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P18a．由AD2＝PQ2，得52＋5a2＝12＋11a2．整理，得4a2＝1．所以a
1．此时P1，4．2
图1
图2
图3
考点伸展
第（3）题也可以这样解．设P1
．①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，所以解得

AMDN55a
，即．MDNP5a3
335a235a2．所以P1．所以Q4．aaa3a37．21a．所以aa7
将Q4代入y＝ax＋1x－3，得
②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q2－3a．由∠AQD＝90°，r