数学归纳法例题
例
请读者分析下面的证法：
证明：①
1时，左边11，右边11，左边右边，等式成立．
133
213
②假设
k时，等式成立，即：
113

13
5

15
7


2k
1
12k
1

k2k1
．
那么当
k1时，有：
11
3

3
1
5

5
1
7



2k
1
12k

1

2k

1
12k

3

12
1
13


13

15


15

17



12k1

12k1


12k1

12k
3
11112k222k322k3

k12k3

k1
2k11
这就是说，当
k1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数
等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设
k这一步，当
k1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当
k1时．
11
3

13
5

5
1
7



2k

1
12k

1

2k

1
12k

3

k2k1

2k
1
12k

3

2k23k1
2k12k3

2k1k12k12k3
f
k12k3

k1
2k11
这就说明，当
k1时，等式亦成立，
例2．是否存在一个等差数列a
，使得对任何自然数
，等式：a12a23a3…
a

1
2
都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令
1，2，3时找出来a
，然后再证明一般性．
解：将
1，2，3分别代入等式得方程组．
a16
a12a224
，
a12a23a360
解得a16，a29，a312，则d3．
故存在一个等差数列a
3
3，当
1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a
3
3，对大于3的自然数，等式
a12a23a3…
a

1
2都成立．
因为起始值已证，可证第二步骤．
假设
k时，等式成立，即
a12a23a3…kakkk1k2那么当
k1时，
a12a23a3…kakk1ak1
kk1k2k13k13
k1k22k3k6
k1k2k3
k1k11k12这就是说，当
k1时，也存在一个等差数列a
3
3使a12a23a3…
a

1
2成立．综合上述，可知存在一个等差数列a
3
3，对任何自然数
，等式a12a23a3…
a

1
2都成立．
f例3．证明不等式11112
∈N．
23


证明：①当
1时，左边1，右边2．左边右边，不等式成立．
②假设
k时，不等式成立，即11112k．
23
k
那么当
k1时，
11111
23
kk1
2k12kk11
k1
k1
kk112k12k1
k1
k1
这就是说，当
k1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数
都成立．说明：这里要注意，当
k1时，要证的目标是
111112k1，当代入归纳假设后，就是要证明：
23
kk1
2k12k1．k1
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证r