第二十一讲从三角形的内切圆谈起
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：
1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法．当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：
注：设Rt△ABC的各边长分别为a、b、c斜边，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式：
1rabc；2
2rab．abc
请读者给出证
【例题求解】
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C90°°，BC5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、
AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为
．
思路点拨AFAD，BEBD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF或AD即可．
【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点异于A、B，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ONNP：③DPPC为定值；④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是
A．①②③B．②③④C．①③④D．①④
思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键．
7
f【例3】如图，已知∠ACP∠CDE90°，点B在CE上，CACBCD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．
全国初中数学联赛试题思路点拨连CF、DF，即需证F为△CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．
【例4】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，ABBC1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连结OE，并延长交AD的延长线于F．
1问∠BOZ能否为120°，并简要说明理由；2证明△AOF∽△EDF，且DFDE1；
OFOA23求DF的长．
思路点拨分解出基本图形，作出基本辅助线．1若∠BOZ120°，看能否推出矛盾；2把计算与推理融合；3把相应线段用DF的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程．
注：如图，在直角梯形ABCD中，若ADBCCD，则可得到应用广泛的两个性质：1以边AB为直径的圆与边CD相切；2以边CD为直径的圆与边AB相切．类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫
三角r