角平分线模型运用
角平分线l定义：如图21，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC2∠AOB2∠BOC，像OB这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线．
αα图21
2角平分线的性质定理①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角，②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．3角平分线的判定定理①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线，②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型，已知P是∠MON平分线上一点，l若PA⊥OM于点A，如图22a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PBPA可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”．
MA
A
M
P
POaBN
Ob
BN
2若点A是射线OM上任意一点，如图22b，可以在ON上截取OBOA，连接PB，构造△OPB∽△OPA可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”．3若AP⊥OP于点P，如图22c，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”．4若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图22d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”．例11如图23a，在△ABC中，∠C90。，AD平分∠CAB，BC6cm，BD4cm，那么点D到直线AB的距离是（）cm
fA
C
D图23（a）
B
2如图23b，已知：∠1∠2，∠3∠4，求证：AP平分∠BAC．
A
B12
3
C4
P图23（b）
例2如图24a，Rt△ABC中，∠ACB90°，CD⊥AB，垂足为DAF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F⑴求证：CECF
CFEAD图24（a）B
f⑵将图24a中的△ADE沿AB向右平移到△A，D，E，的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不变，如图24b所示．试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
CFEAA图24（b）DEDB
例3阅读下列学习材料：如图25a所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OBOA，连接BC如图25b，易证△AOC≌△BOC
MA
MA
P
P
CO图25（a）N
COB图25（b）N
请根据上面的学习材料，解答下列各题：
fl如图25c所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由．
A
B
C图25（c）
D
2如图25d所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PBr