专题6
函数的周期性
函数的周期性
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1．周期函数对于函数y＝fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx＋T＝fx，那么就称函数y＝fx为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期．周期函数y＝fx满足：1若fx＋a＝fx－a，则函数的周期为2a；2若fx＋a＝－fx，则函数的周期为2a；3若fx＋a＝－4若fx＋a＝11
fx
，则函数的周期为2a；
fx
，则函数的周期为2a；
5若函数fx关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数fx的周期为2b－a；6若函数fx关于点a0对称，又关于点b0对称，则函数fx的周期是2b－a；7若函数fx关于直线x＝a对称，又关于点b0对称，则函数fx的周期是4b－a；8若函数fx是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；9若函数fx是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a
f函数周期性的判定与应用1判定：判断函数的周期性只需证明fx＋T＝fxT≠0即可．2应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kTk∈Z且k≠0也是函数的周期．
21－x，0≤x≤1，典例12017郑州模拟已知函数fx＝x－1，1x≤2，
如果对任意的
∈N，定义f
x

＝A．0C．2
，那么f20162的值为
B．1D．3
2
2设定义在R上的函数fx满足fx＋2＝fx，且当x∈02时，fx＝2x－x，则f0＋f1＋f2＋…＋f2018＝________解析1∵f12＝f2＝1，f22＝f1＝0，f32＝f0＝2，∴f
2的值具有周期性，且周期为3，∴f20162＝f3×6722＝f32＝2，故选C
2a－31．已知fx是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f1＜1，f5＝，则实数a的取值范围为a＋1
f________．解析：∵fx是定义在R上的周期为3的偶函数，2a－32a－3a－4∴f5＝f5－6＝f－1＝f1，∵f1＜1，f5＝，∴＜1，即＜0，解得－1＜a＜4a＋1a＋1a＋1答案：－142．奇函数fx的周期为4，且x∈02，fx＝2x－x，则f2018＋f2019＋f2020的值为________．
2
3．设定义在R上的函数fx同时满足以下条件：①fx＋f－x＝0；②fx＝fx＋2；③当0≤x≤1
135x时，fx＝2－1则f＋f1＋f＋f2＋f＝________22213511解析：依题意知：函数fx为奇函数且周期为2r