专题三：不定方程的整数解问题
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。
【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知xy都是整数，且满足xy22xy，求x2y2的最大值分析：由xy22xy，得x2y22因为x2y2都是整数，所以
x22x21x22x21，或，或，或y21y22y21y22
解得
2
x4x3x0x1，或，或，或y3y1y4y0
2
故xy的最大值为25
注：一般地，整系数abcd的二次方程axybxcyd0，
f可变形为：a2xyabxacyad0分解，得
axcaybbcad
求整数解时，只需把整数bcad分解成两个整数的积，
转化为解几个方程组
axc，（这bcad）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。ayb
【例2】求方程x2y23x7y20的整数解xy分析：原方程可化为4x24y212x28y80，配方得2x322y72320所以xy5xy28因为xy5和xy2的奇偶性不同
得
xy58xy51xy58xy51，或，或，或xy21xy28xy21xy28
解得：xy5828r