高考复习中恒成立问题的解题技巧与策略
高三数学复习中的恒成立问题，特别是含参数不等式的恒成立问题，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为近几年高考和竞赛的一个热点。下面结合实例，介绍这类问题的几种求解策略。一、主元变更转化法：给定一次函数yfxaxba≠0若yfx在m
内恒有fx0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）
a0a0fm0或）亦可合并定成fm0f
0f
0fm0f
0
y
同理，若在m
内恒有fx0，则有y
om


x
om


x
例1、对于满足p≤2的所有实数p求使不等式xpx12px恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。22略解：不等式即x1px2x10设fpx1px2x1则fp在22上恒大于0，故有：
2
2x3或x1f20x4x30即解得：x210f2x1或x1
∴x1或x3二、利用判别式求解把不等式转化为一元二次不等式，利用axbxc0在R上恒成立
2
1
f的充要条件是
a0，可以求“在实数集R上恒成立”这一类问题。02x22mxm1对一切实数x均成立，求实数m的4x26x3
323从而，0对一切实数x恒成立，24
2
例2、不等式取值范围。
简解：4x6x32x由
2
2
原不等式等价于2x2mxm4x6x3即
x∈R
2x262mx3m0对一切实数x恒成立。62m283m0
解得
1m3
故实数m的取值范围是（1，3）。
三、分离变量，巧妙求解若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例3、已知当x∈R时，不等式acos2x54si
x5a4恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4si
xcos2x5a4a5要使上式恒成立，只需5a4a5大于4si
xcos2x的最大值，故上述问题转化成求fx4si
xcos2x的最值问题。22fx4si
xcos2x2si
x4si
x12si
x13≤3∴5a4ar