及b，c∈Aj。因为i≠j时Ai∩Aj，故ij，即a，b，c∈Ai，所以aRc，故R传递。总之R是A上的等价关系。九、若fA→B是双射，则f1B→A是双射（15分）。证明对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使x，y∈f，y，x∈f1。所以，f1是满射。对任意的x∈A，若存在y1，y2∈B，使得y1，x∈f1且y2，x∈f1，则有x，y1∈f且x，y2∈f。因为f是函数，则y1y2。所以，f1是单射。
因此f1是双射。
f离散数学试题B卷答案）
一、证明题（10分）
1P∧Q∧R∨Q∧R∨P∧RR证明左端P∧Q∧R∨Q∨P∧RP∧Q∧R∨Q∨P∧RP∨Q∧R∨Q∨P∧RP∨Q∨Q∨P∧RP∨Q∨P∨Q∧RT∧R置换R
2xAxBxxAxxBx证明：xAxBxxAx∨BxxAx∨xBxxAx∨xBxxAxxBx
二、求命题公式P∨Q∧RP∧Q∧R的主析取范式和主合取范式（10分）。证明：P∨Q∧RP∧Q∧RP∨Q∧R∨P∧Q∧R（P∧Q∨R）∨P∧Q∧RP∧Q∨P∧R∨P∧Q∧RP∧Q∧R∨P∧Q∧R∨P∧Q∧R∨P∧Q∧R∨P
∧Q∧R
m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）
1）C∨D，C∨DE，EA∧B，A∧BR∨SR∨S
证明：1C∨DE
P
2EA∧B
P
3C∨DA∧B
T12，I
4A∧BR∨S
P
5C∨DR∨S
T34，I
6C∨D
P
7R∨S
T5，I
2xPxQy∧Rx，xPxQy∧xPx∧Rx
证明1xPx
P
2Pa
T1，ES
3xPxQy∧Rx4PaQy∧Ra5Qy∧Ra
PT3，UST24，I
6Qy
T5，I
f7Ra
T5，I
8Pa∧Ra
T27，I
9xPx∧Rx
T8，EG
10Qy∧xPx∧Rx
T69，I
四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会
打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打
这三种球的人数（10分）。
解：A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则A12，B6，C14，
A∩C6，B∩C5，A∩B∩C2。
先求A∩B。
∵6（A∪C）∩B（A∩B）∪（B∩C）（A∩B）（B∩C）A∩B∩C（A
∩B）52，∴（A∩B）3。
于是A∪B∪C12614653220。不会打这三种球的人数25205。
五、已知A、B、C是三个集合，证明AB∪CAB∩AC（10分）。
证明：∵xA（B∪C）xA∧x（B∪C）
xA∧（xB∧xC）
（xA∧xB）∧（xA∧xC）
x（AB）∧x（AC）
x（AB）∩（AC）
∴A（B∪C）（AB）∩（AC）
六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：Rx，yx，yN∧yx2，Sx，yx，yN∧yx1。求R1、RS、SR、R1，2、S1，2（10分）。
解：R1y，xx，yN∧yx2RSr