几种常见的数列的通项公式的求法
一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）1
12
2
45
3
910
4
1617
（3）1
23

12


25
（4）
12

23

34

45

解：（1）变形为：101－1，102—1，103—1，104—1，……∴通项公式为：a
101
（2）a


2
2

1

1

（3）a

2
1
（4）a
1二、公式法


1
点评：关键是找出各项与项数
的关系。
例2：已知数列a
是公差为d的等差数列，数列b
是公比为q的q∈R且q≠1的等比数列，若函数fxx－12，且a1fd－1，a3fd1，b1fq1，b3fq－1，1求数列a
和b
的通项公式；解：1∵a1fd－1d－22，a3fd1d2，∴a3－a1d2－d－222d，∴d2，∴a
a1
－1d2
－1；又b1fq1q2，b3fq－1q－22，∴
b3b1

q2q
2
2
q2，由q∈R，且q≠1，得q－2，∴b
bq
14－2

－
－1
例3
等差数列a
是递减数列，且a2a3a448，a2a3a412，则数列的通项公式是（B
）
Aa
2
12
a
2
4
Ca
2
12
Da
2
10
解析：设等差数列的公差位d，由已知
a3da3a3d483a312
，
解得
a34d2
，又a
是递减数列，
∴d2，a18，∴a
8
122
10，故选D。
例4
已知等比数列a
的首项a11，公比0q1，设数列b
的通项为b
a
1a
2，求数列
b
的通项公式。
解析：由题意，b
1a
2a
3，又a
是等比数列，公比为q
∴
b
1b


a
2a
3a
1a
2
q，故数列b
是等比数列，b1a2a3a1qa1q2qq1，∴b
qq1q
1q
q1
点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、解叠加法例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。易知a
a
12
1∵a2a13
a3a25
a4a37
……a
a
12
1
各式相加得a
a13572
1
2∴a
5
N
点评：一般地，对于型如a
1a
f
类的通项公式，只要f1f2f
能进行求和，则宜采用此方法求解。例6若在数列a
中，a13，ar