点，这2k个交点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得fk＋1＝fk＋2k＝k2－k＋2＋2k＝k＋12－k＋1＋2所以当
＝k＋1时，命题成立．由12可知，对一切
∈N＋，命题成立，即这几个圆将平面分成f
＝
2－
＋2个部分
∈N＋．1111
－220．本小题满分12分求证：2＋3＋4＋…＋
－12
≥22【导学号：32750075】1【证明】1当
＝2时，20，不等式成立．2假设
＝kk≥2时，原不等式成立，11111k－2即2＋3＋4＋5＋…＋k122－则当
＝k＋1时，1111111左边＝2＋3＋4＋…＋k1＋k1＋k1＋…＋k1k12－2－＋12－＋22－＋2－
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fk－21112＋k1＋k1＋…＋k1k12－＋12－＋22－＋2－k－211112＋2k＋2k＋…＋2k共2k－1个2kk－22k－1k－1＝2＋2k＝2＝k＋1－22
所以当
＝k＋1时，原不等式成立．由12知，原不等式对
≥2的所有的自然数都成立．－1＋3a
21．本小题满分12分如果数列a
满足条件：a1＝－4，a
＋1＝
＝12，…，2－a
证明：对任何自然数
，都有a
＋1a
且a
0【证明】1由于a1＝－4，－1＋3a1－1－12－13a2＝＝＝6a12－a12＋4且a10，因此，当
＝1时不等式成立．2假设当
＝kk≥1时，ak＋1ak且ak0－1＋3ak那么ak＋1＝02－ak当
＝k＋1时，－1＋3ak＋1有ak＋2＝，2－ak＋1－1＋3ak＋1－1＋3ak∴ak＋2－ak＋1＝－2－ak＋12－ak＝02－ak＋12－ak5ak＋1－ak
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f因此ak＋2ak＋1且ak＋10，这就是说，当
＝k＋1时不等式也成立，根据12，不等式对任何自然数
都成立．因此，对任何自然数
，都有a
＋1a
且a
022．本小题满分12分已知数列a
的前
项和为S
，且S
，a
的等差中项为11写出a1，a2，a3；2猜想a
的表达式，并用数学归纳法证明．11【解】1由题意S
＋a
＝2，可得a1＝1，a2＝2，a3＝4
－1
12猜想a
＝2

下面用数学归纳法证明：
－1
1①当
＝1时，a1＝1，2
01＝2＝1，等式成立．
k－1
1②假设当
＝k时，等式成立，即ak＝2
，
则当
＝k＋1时，由Sk＋1＋ak＋1＝2，Sk＋ak＝2，得Sk＋1－Sk＋ak＋1－ak＝0，即2ak＋1＝ak，
k－1k1－1
111∴ak＋1＝ak＝222
1＝2
，
即当
＝k＋1时，等式成立．
－1
1由①②可知，对
∈N＋，a
＝2

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