全国初中数学竞赛辅导八年级教学案全集
第二讲因式分解二1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式2axbxycydxeyf，我们也可以用十字相乘法分解因式．
2
例如，分解因式2x27xy22y25x35y3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x257yx22y235y3，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即22y235y32y311y1．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以原式［x2y3］［2x11y1］x2y32x11y1．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
f它表示的是下面三个关系式：x2y2x11y2x27xy22y2；x32x12x25x3；2y311y122y235y3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2bxycy2dxeyf进行因式分解的步骤是：1用十字相乘法分解ax2bxycy2，得到一个十字相乘图有两列；2把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：1x23xy10y2x9y2；2x2y25x3y4；3xyy2xy2；46x27xy3y2xz7yz2z2．解1
原式x5y2x2y1．2
f原式xy1xy4．3原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式y1xy2．4
原式2x3yz3xy2z．说明4中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a
x
a
1x
1…a1xa0
为非负整数的代数式称为关于x的一元多项式，并用fx，gx，…等记号表示，如fxx23x2，gxx5x26，…，当xa时，多项式fx的值用fa表示．如对上面的多项式fxf1123×120；f2223×2212．若fa0，则称a为多项式fx的一个根．定理1因式定理若a是一元多项式fx的根，fa0成立，即则多项式fx有一个因式xa．
f根据因式定理，找出一元多项式fx的一次因式的关键是求多项式fx的根．对于任意多项式fx，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式fx的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2
的根，则必有p是a0的约数，q是a
的约数．特别地，当a01时，整系数多项式fx的整数根均为a
的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2分解因式：x34x26x4．分析这是一个整系数r