遇222由题意可知vt2030t22030tcos90°30°化简得v900400由于0t≤12即1t≥2
2
675
所以当2时
1t
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fv取得最小值1013
即小艇航行速度的最小值为1013海里小时Ⅲ由Ⅱ知v
2
2
4006001900设uu02ttt
2
于是400u600u900v0小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于方程应有两个不等正根即
226001600900v0解得153v302900v0
所以v的取值范围是15330解法二Ⅰ若相遇时小艇的航行距离最小又轮船沿正东方向匀速行驶则小艇航行方向为正北方向设小艇与轮船在C处相遇在RtOAC中OC20cos30103
o
AC20si
30o10
又AC30tOCvt此时轮船航行时间t
101103v30313033
即小艇以303海里小时的速度行驶相遇时小艇的航行距离最小Ⅱ同解法一Ⅲ同解法一22本小题主要考察函数导数等基础知识考察推力论证能力抽象概况能力运算求解能力考察函数与方程思想数形结合思想化归与转换思想分类与整合思想满分14分解法一
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fⅠ由fxx2xa及题设得
2
f03a3即f02b2
Ⅱ由gx
2
13mxx23x23x1mx12
得gxx2x3
Qgx是2∞上的增函数∴gx≥0在2∞上恒成立
即x2x3
2
m≥0在2∞上恒成立x12
设x12t
Qx∈2∞∴t∈1∞m≥0在1∞上恒成立tm当m≤0时不等式t2≥0在1∞上恒成立tm当m0时设yt2t∈1∞tmm因为y120所以函数yt2在1∞上单调递增tt
即不等式t2因此ymi
3m
Qymi
≥0∴3m≥0即m≤3
又m0故0m≤3综上m的最大值为3由得gx证明如下
1331xx23x2其图像关于点Q1成中心对称3x13
Qgx
133xx23x23x113∴g2x2x32x232x232x11383xx23x331x2因此gxg2x3
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f上式表明若点Axy为函数gx在图像上的任意一点则点B2x
2y也一定在函3
数gx的图像上而线段AB中点恒为点Q1由此即知函数gx的图像关于点Q成中心对称这也就表明存在点Q1使得过点Q的直线若能与函数gx的图像围成两个封闭图形则这两个封闭图形的面积总相等解法二Ⅰ同解法一Ⅱ由gx
13
13
13mxx23x23x1
得gxx22x3
mx12
Qgx是2∞上的增函数r