0，那么ab存在唯一的实数，使得ba。求单位向量的方法：设a0与非零向量a同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，则有
aaa0aa0。
a
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f持之以恒，厚积薄发
2、用坐标表示向量的运算：设aaxayaz，bbxbybz，为任意数，则①abaxbxaybyazbz②aaxayaz③abaxayaz
bxbybz
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f第八章空间解析几何和向量代数
三、向量的数量积、向量积以及混合积
1、向量的数量积（点积或内积）
①定义：ababcosab为a与b的数量积。②数量积的坐标表示
设aaxayaz，bbxbybz，
则abaxbxaybyazbz。③数量积的运算性质
abba；abcacbc；
abab；
a2aaa2
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f持之以恒，厚积薄发
④数量积的几何应用a的长度：aaaa与b的夹角ab（不大于的角）：
cosababab
a与b垂直ab0
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f第八章空间解析几何和向量代数
2、向量的向量积（叉积或外积）①定义：ab。大小：ababsi
ab方向：同时垂直于a与b且abab符合右手法则
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f持之以恒，厚积薄发
②向量积的坐标表示设aaxayaz，bbxbybz，
ijk
则abaxayaz
bxbybz
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f③向量积的运算性质
第八章空间解析几何和向量代数
abba；
abcacbc；
ababab
④向量积的几何应用
a与b共线ab0
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f持之以恒，厚积薄发
3、向量的混合积①定义：abc②混合积的坐标表示设aaxayaz，bbxbybz，ccxcycz则
axayazabcbxbybz
cxcycz
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f③混合积的运算性质
第八章空间解析几何和向量代数
abcbcacab④向量积的几何应用a、b、c共面abc0以向量a、b、c为相邻三棱的平行六面体的体积等于abc
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f持之以恒，厚积薄发
【例1】已知a1123，a223x，
a32x6
（1）如a1a2，则x
；
（2）如a1a3，则x
；
（3）如a1a2a3共面，则x
。
【答案】（1）x4；（2）x4；（3）x4或者x63
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f第八章空间解析几何和向量代数
【例2】设a2，b5，ab2，则
3
时，向量ma17b与
3ab互相垂直。
【答案】40
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f持之以恒，厚积薄发
【例3】设m2a3b，
r