坐标系与参数方程
1【2018课标Ⅰ22】22．选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为ykx2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解：（1）由xcos，ysi
得C2的直角坐标方程为x12y24．
（2）由（1）知C2是圆心为A10，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B02且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线
为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与
C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当
l1
与
C2
只有一个公共点时，
A
到
l1
所在直线的距离为
2
，所以

k2k21

2
，故
k


43
或
k

0
．
经检验，当
k

0
时，l1
与
C2
没有公共点；当
k


43
时，l1
与
C2
只有一个公共点，l2
与
C2
有两个公
共点．
当l2
与C2
只有一个公共点时，
A到l2
所在直线的距离为2，所以

k2k21

2
，故
k

0
或k

43
．
经检验，当
k

0
时，
l1
与
C2
没有公共点；当
k

43
时，
l2
与
C2
没有公共点．
综上，所求
C1
的方程为
y


43

x

2
．
2【2018课标Ⅱ22】22．选修4－4：坐标系与参数方程（10分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x

y

2cosθ4si
θ
（
θ
为参数），直线
l
的参数方程为
x

y
1tcosα2tsi
α
（
t
为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为12，求l的斜率．
1
f解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2y21．416当cos0时，l的直角坐标方程为yta
x2ta
，当cos0时，l的直角坐标方程为x1．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
13cos2t242cossi
t80．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点12在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20．
又由①得
t1

t2


42cossi
13cos2
，故
2cos
si


0
，于是直线l
的斜率
k

ta


2．
3【2018课标Ⅲ22】22．选修44：坐标系与参数方程（10分）
在平面直角坐标系
xOy
中，⊙O
的参数方程为

xy

cossi

（
为参数），过点
0

2且倾斜角为
的直线l与⊙O交于A，B两点．学科网
（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
选修44：坐标系与参数方程（10r