第3讲导数及其应用
考情考向分析1导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点2利用导数解决函数的单调性与极值最值问题是高考的常见题型．
热点一导数的几何意义1．函数fx在x0处的导数是曲线fx在点Px0，fx0处的切线的斜率，曲线fx在点P处的切线的斜率k＝f′x0，相应的切线方程为y－fx0＝f′x0x－x0．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例112018全国Ⅰ设函数fx＝x3＋a－1x2＋ax，若fx为奇函数，则曲线y＝fx在点00处的切线方程为A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x答案D解析方法一∵fx＝x3＋a－1x2＋ax，∴f′x＝3x2＋2a－1x＋a又fx为奇函数，∴f－x＝－fx恒成立，即－x3＋a－1x2－ax＝－x3－a－1x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′x＝3x2＋1，∴f′0＝1，∴曲线y＝fx在点00处的切线方程为y＝x
f故选D方法二∵fx＝x3＋a－1x2＋ax为奇函数，∴f′x＝3x2＋2a－1x＋a为偶函数，
∴a＝1，即f′x＝3x2＋1，∴f′0＝1，
∴曲线y＝fx在点00处的切线方程为y＝x
故选D
2若直线y＝kx＋b是曲线y＝l
x＋1的切线，也是曲线y＝l
x＋2的切线，则实数b＝
________
答案l
2
解析设直线y＝kx＋b与曲线y＝l
x＋1和曲线y＝l
x＋2的切点分别为x1，l
x1＋1，x2，l
x2＋2．∵直线y＝kx＋b是曲线y＝l
x＋1的切线，也是曲线y＝l
x＋2的切线，
11∴x1＝x2＋2，即
x1－x2＝2
∴切线方程为y－l
x1＋1＝x11x－x1，即为y＝xx1＋l
x1
或y－l
x2＋2＝x2＋12x－x2，即为y＝xx1＋2－x1x1＋l
x1，∴2－x1x1＝0，则x1＝2，
∴b＝l
2
思维升华1求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P
的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P
为切点．
2利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转
化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间
的关系，进而和导数联系起来求解．
跟踪演练112018全国Ⅱ曲线y＝2l
x＋1在点00处的切线方程为________．
答案2x－y＝0
解析∵y＝2l
x＋1，∴y′＝x＋21令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为
2，又切线过点00，
f∴切线方程为y＝2x，即2x－y＝02若函数fx＝l
xx0与函数gx＝x2＋2x＋ax0有公切线，则实数a的取值范围是Al
21e，＋∞B．－1，＋∞C．1，＋∞D．－l
2，＋∞答案A解析设公r