微专题25定积分
一、基础知识
1、相关术语：对于定积分bfxdxa
（1）ab称为积分上下限，其中ab
（2）fx：称为被积函数
（3）dx：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例
如：bx2txdx中的被积函数为fxx2tx，而bx2txdt的被积函数为
a
a
ftxtx2
2、定积分bfxdx的几何意义：表示函数fx与x轴，xaxb围成的面积（x轴上a
方部分为正，x轴下方部分为负）和，所以只有当fx图像在ab完全位于x轴上方时，
bfxdx才表示面积。bfxdx可表示数fx与x轴，xaxb围成的面积的总和，
a
a
但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解
3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：
（1）微积分基本定理：如果fx是区间ab上的连续函数，并且Fxfx，那么
b
a
f

xdx

F

x
ba

F
b

F
a
使用微积分基本定理，关键是能够找到以fx为导函数的原函数Fx。所以常见的初等函
数的导函数公式要熟记于心：
fxC
fx0
fxx
fxx1
fxsi
xfxcosx
fxcosxfxsi
x
fxax
fxaxl
a
fxex
fxex
fxlogax
fx1
xl
a
fxl
x
fx1
x
①寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，
例如：fxx3，则判断属于幂函数类型，原函数应含x4，但x44x3，而fxx3，
f所以原函数为Fx1x4C（C为常数）
4
②如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C，例如fx2x，则Fxx2C，
但在使用微积分基本定理时，会发现FbFa计算时会消去C，所以求定积分时，Fx
不需加上常数。
（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易
于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于x轴的下方，则面积
与所求定积分互为相反数。
4、定积分的运算性质：假设bfxdxbgxdx存在
a
a
（1）
b
a
kf

xdx

b
ka
f

xdx
作用：求定积分时可将fx的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化fx
的复杂程度
（2）
b
a

f

x

g

x
dx

b
a
f

xdx

b
a
g

xdx
作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如
2x2x1dx
2x2dx
2
xdx
2
1dx
1
1
1
1
b
（3）a
f
xdx

c
a
f
xdx

b
c
f
xdx
，其中a

c

b
作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆
分，分别求解。
5、若fxr