程m90°＋
135°＝360°的正整数解．即2m＋3
＝8的正整数解，这个方程的正整数
m1解只有
2一组，又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一个正三角形，两个正十二边形也可以镶
嵌成平面图形，所以符合条件的图形有2种．
例4如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF＝S平行四边形ABCD
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．∵E是DC的中点，∴DE＝CE．∴△AED≌△FEC．∴S△AED＝S△FEC．∴S△ABF＝S四边形ABCE＋S△CEF＝S四边形ABCE＋S△AED＝S平行四边形ABCD例5如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）AOE＝OFBDE＝BFC∠ADE＝∠CBFD∠ABE＝∠CDF
【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当的方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．例6如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC＋BD
f＝_______．
【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO＋BO＝9，再求得AC＋BD＝18．例7如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE．求证：四边形ACEF为菱形．
【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．例8如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD∵点E、F分别是AB、CD的中点，
1
1
∴AE＝2AB，CF＝2CD
∴AE＝CF．∴△ADE≌△CBF．（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°，∴四边形AGBD是矩形．
f例9如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝33，BC＝6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点
Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE＝30°．（1）求BE、QF的长r