列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以
相似地，的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。所以
f例1若
，求：
（1）
答疑编号10010103：针对该题提问
（2）
答疑编号10010104：针对该题提问
（3）
答疑编号10010105：针对该题提问
（4）
答疑编号10010106：针对该题提问
解（1）
（2）
（3）
（4）
（2）符号叫元素的代数余子式
定义：
（系数其实是个正负符号）
例2求例1中的代数余子式（1）答疑编号10010107：针对该题提问（2）
f答疑编号10010108：针对该题提问（3）答疑编号10010109：针对该题提问（4）答疑编号10010110：针对该题提问解：（1）
（2）（3）（4）
（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）
例3若
计算
（以上两组数相等）
答疑编号10010111：针对该题提问
解：
f由于
与例3的结果比较，发现
这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到
阶行列式作为定义。
定义：
阶行列式
即规定
阶行列式的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结
f果中因为所以有特别情形例4计算下列行列式（1）答疑编号10010112：针对该题提问
由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积
f（2）答疑编号10010113：针对该题提问
可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积
一般地可推得
即任意
阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积
同理有
f12行列式按行（列）展开
在11节讲
阶行列式的展开时，是把按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降
低以后，再求出其值。实际上，行列式可以
按其任意一行或按其任意一列展开来求出
它的值。
现在给出下面的重要定理，其证明从
略。
定理121（行列式展开定理）
阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与
其对应的代数余子式的乘积之和，即
（18）或
（19）
（i12…
）（j12…
）
其中，是元素在D中的代数余子式。
定理121（行列式展开定理）
阶行列
f式等于它的任意一行（列）的各元素与
其对应的代数余子式的乘积之和，即
（i12…
）
（18）
或
（j12…
）
（19）
其中，是元素在D中的代数余子式。
（18）式称为D按第i行的展开式（，19）
式称为D按第j列的展开式，这里ij12…
上述展开定理也可以表示成
（i12…
）
（j12…
）这两个展开式中的每一项都由三部r